En kluring om primtal och derivata

Tack för kluringen!

Tex naturliga tal n=$p^p$ (tex 4, 27, 3125, etc), där p är ett primtal har egenskapet att n' = n

(Har inte haft tid dock att bevisa/kolla om dessa är de enda talen med detta egenskap :-))

Hej igen!

Här kommer beviset (ett bevis - det kunde finnas flera sätt att bevisa :-)) att de naturliga talen för vilka $n\text{'}=n$ är $n=p^p$, där $p$ är primtal.

Jag skriver ner igen reglerna från uppgiften här:

$p\text{'}=1$ för varje primtal (1)

$\left(ab\right)\text{'}=a\text{'}b+b\text{'}a$ (2)

Först kommer vi enkelt - baserat på (1) och (2) ovan - bevisa att för ett primtal $p$ och en naturlig potens $k$ vi har att:

$\left(p^k\right)\text{'} =\hspace{0.17em}k{p}^{k-1}$, för alla $k\ge 1$(3)

Vi bevisar med hjälp av induktion:

1) För $k=1$, från (1) vi har att $\left(p^1\right)\text{'}\hspace{0.17em}=\hspace{0.17em}1=\hspace{0.17em}1\times p^0$

2) Anta att $\left(p^n\right)\text{'}=n{p}^{n-1}$för en naturlig n>1

Vi bevisar att $\left(p^{n+1}\right)\text{'} =\hspace{0.17em}(n+1)p^n$

$\left(p^{n+1}\right)\text{'} =\hspace{0.17em}(p^n\times p)\text{'}$, vi använder (2) och (1) och får att $\left(p^n\times p\right)\text{'} =\hspace{0.17em}\left(p^n\right)\text{'}p+p^{n}p\text{'} =\hspace{0.17em}\left(n{p}^{n-1}\right)\times p + p^n\times 1\hspace{0.17em}=\hspace{0.17em}n{p}^n+p^n=(n+1)p^n$ 

Så, nu vi har bevisat (3)

Med hjälp av (3) vi kan lätt visa att $\left(p^p\right)\text{'}=p^p$. Enligt (3) är $\left(p^p\right)\text{'} =\hspace{0.17em}p\times p^{p-1}=p^p$(4)

Nu behöver vi bevisa att det  verkligen inte finns andra naturliga tal $n$ som uppfyller $n\text{'}=n$

Vi bevisar med hjälp av motsägelsebevis (https://www.matteboken.se/lektioner/mattespecialisering/logik/bevis-och-motsagelsebevis) att det inte finns andra tal som uppfyller likheten $n\text{'}=n$.

Låt oss alltså anta att det finns naturliga tal $n$(andra än $p^p$, med $p$ primtal) som uppfyller $n\text{'}=n$. Låt en sådan naturlig tal vara $n\hspace{0.17em}=\hspace{0.17em}{p}^m\times K$, där $p$ är ett primtal, och $K$ är ett naturlig tal som är relativ prim med $p$, dvs, $sgd(K,p)\hspace{0.17em}=\hspace{0.17em}1$(5)

Också, $m\ge 1, m\ne p$

($K$ kunde i sin tur brytas vidare ner i sin primtalsfaktorisering, eller $K$ kan vara primtal själv, men det spelar inte roll för detta bevis)

Vi skriver om $n\text{'}=n$

$\left(p^{m}K\right)\text{'} =\hspace{0.17em}{p}^{m}K$(6)

Enligt (1), (2) och (3) har vi att: $\left(p^{m}K\right)\text{'} =\hspace{0.17em}\left(p^m\right)\text{'}K + p^{m}K\text{'} =\hspace{0.17em}m{p}^{m-1}K + p^{m}K\text{'}\hspace{0.17em}=\hspace{0.17em}{p}^{m-1}(mK+pK\text{'})$

Vi kan nu skriva om (6) till

$p^{m-1}(mK+pK\text{'}) =\hspace{0.17em}{p}^{m}K$(7)

Vi delar båda sidorna i (7) med $p^{m-1}$:

$mK+pK\text{'}=pK \iff pK\text{'} =(\hspace{0.17em}p-m)\hspace{0.17em}K$(8)

För att likheten i (8) ska vara uppfylld behöver båda sidor vara delbara med $p$ (eftersom $p$ är en faktor på vänstersidan).

$p-m$ kan inte vara delbar med $p$, så den enda möjligheten är att $p|K$. Men enligt (5) är $sgd(p,K)=1$

Detta innebär att det finns inga $p, m, K$ för vilka $\left(p^{m}K\right)\text{'}=p^{m}K$ ($n\text{'}=n$), så vi har nått en motsägelse.

Så, de enda naturliga talen $n$ som uppfyller $n\text{'}=n$är av formen $p^p$där $p$är ett primtal.

arad1986 skrev:

Hej igen!

Här kommer beviset (ett bevis - det kunde finnas flera sätt att bevisa :-)) att de naturliga talen för vilka $n\text{'}=n$ är $n=p^p$, där $p$ är primtal.

Jag skriver ner igen reglerna från uppgiften här:

$p\text{'}=1$ för varje primtal (1)

$\left(ab\right)\text{'}=a\text{'}b+b\text{'}a$ (2)

Först kommer vi enkelt - baserat på (1) och (2) ovan - bevisa att för ett primtal $p$ och en naturlig potens $k$ vi har att:

$\left(p^k\right)\text{'} =\hspace{0.17em}k{p}^{k-1}$, för alla $k\ge 1$(3)

Vi bevisar med hjälp av induktion:

1) För $k=1$, från (1) vi har att $\left(p^1\right)\text{'}\hspace{0.17em}=\hspace{0.17em}1=\hspace{0.17em}1\times p^0$

2) Anta att $\left(p^n\right)\text{'}=n{p}^{n-1}$för en naturlig n>1

Vi bevisar att $\left(p^{n+1}\right)\text{'} =\hspace{0.17em}(n+1)p^n$

$\left(p^{n+1}\right)\text{'} =\hspace{0.17em}(p^n\times p)\text{'}$, vi använder (2) och (1) och får att $\left(p^n\times p\right)\text{'} =\hspace{0.17em}\left(p^n\right)\text{'}p+p^{n}p\text{'} =\hspace{0.17em}\left(n{p}^{n-1}\right)\times p + p^n\times 1\hspace{0.17em}=\hspace{0.17em}n{p}^n+p^n=(n+1)p^n$ 

Så, nu vi har bevisat (3)

Med hjälp av (3) vi kan lätt visa att $\left(p^p\right)\text{'}=p^p$. Enligt (3) är $\left(p^p\right)\text{'} =\hspace{0.17em}p\times p^{p-1}=p^p$(4)

Nu behöver vi bevisa att det  verkligen inte finns andra naturliga tal $n$ som uppfyller $n\text{'}=n$

Vi bevisar med hjälp av motsägelsebevis (https://www.matteboken.se/lektioner/mattespecialisering/logik/bevis-och-motsagelsebevis) att det inte finns andra tal som uppfyller likheten $n\text{'}=n$.

Låt oss alltså anta att det finns naturliga tal $n$(andra än $p^p$, med $p$ primtal) som uppfyller $n\text{'}=n$. Låt en sådan naturlig tal vara $n\hspace{0.17em}=\hspace{0.17em}{p}^m\times K$, där $p$ är ett primtal, och $K$ är ett naturlig tal som är relativ prim med $p$, dvs, $sgd(K,p)\hspace{0.17em}=\hspace{0.17em}1$(5)

Också, $m\ge 1, m\ne p$

($K$ kunde i sin tur brytas vidare ner i sin primtalsfaktorisering, eller $K$ kan vara primtal själv, men det spelar inte roll för detta bevis)

Vi skriver om $n\text{'}=n$

$\left(p^{m}K\right)\text{'} =\hspace{0.17em}{p}^{m}K$(6)

Enligt (1), (2) och (3) har vi att: $\left(p^{m}K\right)\text{'} =\hspace{0.17em}\left(p^m\right)\text{'}K + p^{m}K\text{'} =\hspace{0.17em}m{p}^{m-1}K + p^{m}K\text{'}\hspace{0.17em}=\hspace{0.17em}{p}^{m-1}(mK+pK\text{'})$

Vi kan nu skriva om (6) till

$p^{m-1}(mK+pK\text{'}) =\hspace{0.17em}{p}^{m}K$(7)

Vi delar båda sidorna i (7) med $p^{m-1}$:

$mK+pK\text{'}=pK \iff pK\text{'} =(\hspace{0.17em}p-m)\hspace{0.17em}K$(8)

För att likheten i (8) ska vara uppfylld behöver båda sidor vara delbara med $p$ (eftersom $p$ är en faktor på vänstersidan).

$p-m$ kan inte vara delbar med $p$, så den enda möjligheten är att $p|K$. Men enligt (5) är $sgd(p,K)=1$

Detta innebär att det finns inga $p, m, K$ för vilka $\left(p^{m}K\right)\text{'}=p^{m}K$ ($n\text{'}=n$), så vi har nått en motsägelse.

Så, de enda naturliga talen $n$ som uppfyller $n\text{'}=n$är av formen $p^p$där $p$är ett primtal.

Snyggt löst, arad1986! Mycket elegant! :D

Jag löste på ett lite annorlunda sätt där jag visade att det fanns en sluten formel för $n^{\prime}$:

Om

$\displaystyle n= \prod_{j=1}^{m} p_{j}^{\alpha_{j}}$

för primtal $p_{j}$ och ickenegativa heltal $\alpha_{j}$ så kunde man skriva

$\displaystyle n^{\prime} = n \sum_{j=1}^{m} \frac{\alpha_{j}}{p_{j}}.$

Det gav även att den aritmetiska derivatan var väldefinierad, dvs. att derivatan av $n$ inte berodde på faktoriseringen av $n$. Därav kunde jag dra slutsatsen att de enda talen $n$, sådana att $n^{\prime}=n$, var $n=p^{p}$ för primtal $p$.

Hej!

Din lösning ser också jättefint ut :-) Som sagt, det finns många (fina) sätt att bevisa - därför är matte så vackert!