En kedja runt jordklotet

a) jordens diameter/kedjeringens diameter är 12756 så dess radie är 6 378m. Det ger en omkrets på ... O=2pi*r ...
Kedjeringens längd  ökar med 10m vilket ger att kedjeringens radie är ...   O+10=2pi*r₂
Om du sedan subtraherar jordens radie från kedjeringens radie får du höjden.

Man kan såklart använda diametern men jag gillar att räkna med radien.

på detta sätt?

O=2* pi*r = 4074 

kedjan ökar med 10 

4074+10 = 2*pi*r^2 =

4084= 2*pi* 2042^2 =4169 764 m 

4169 754m - 4074 000m = 95 754 m 

är detta höjden då?

Arizona skrev:

på detta sätt?

O=2* pi*r = 4074 

Är omkretsen 4074? Är det rimligt?

Jag får:

$O=2·\mathrm{\pi }·\mathrm{r}=\mathrm{d\pi }=12756·\mathrm{\pi }=40 074,155$

Nåväl, vi säger att du också fick det och fortsätter med:

40074+10 = 2*pi*r^2 

Varför r² ?    Jag skrev r₂ för att skilja det från jordens radie.  Kanske r_k för kedjans radie hade varit bättre.

Okej, så nu har du:

$40084=2·\mathrm{\pi }·{\mathrm{r}}_{\mathrm{k}}$

Vad blir den kedjans (kedjeringens) radie?

Har du ritat figur(er)?

då är det väl bara att dela den med 2?

40084/2 =20042 

20042 är då kedjans radie? 

Du ska dela med pi också.

Men vad jag kan se har km blivit till m. Jordens omkrets är inte 40074 m.

Det finns en formel som ger dig sambandet mellan omkrets och radie. Du har själv skrivit den flera gånger

$O=2·\mathrm{\pi }·\mathrm{r}$

Så om du vill räkna ut r blir det

$r=\frac{O}{2\mathrm{\pi }}$

Louis skrev:

Du ska dela med pi också.

Men vad jag kan se har km blivit till m. Jordens omkrets är inte 40074 m.

har uträkningarna blivit fel?

Ja, först blev 40074 km + 10 m till 40084 (utan enhet).

Sedan när du skulle räkna ut radien delade du omkretsen med 2, utan att också dela med pi.

Det kommer att visa sig att den ursprungliga diametern inte har någon betydelse för den efterfrågade höjden.
Så det blir rätt svar även om man räknar med att jordens radie är 6 378 m (drygt 6 km, se #2 ovan).

I c) är räkningarna de enklaste och visar oberoendet. Tills man vet detta borde man arbeta med mycket större noggrannhet i siffrorna än vad som ges i uppgiften, vilket jag tycker är en brist i konstruktionen. Jag menar att det blir lite konstigt att beräkna pi*12756000 + 10  när de tre sista nollorna i första talet inte är värdesiffror.

men hur blir den korrekta upp ställningen?

är de samma räkne sätt i fråga b

Meningen är att man ska upptäcka att det blir samma svar i a) och b) och sedan bekräfta det i c).
Du kan börja med c) och sedan göra a) och b) genom att byta ut d och f mot de olika värdena.

men stämmer de då att uttrycket för klotets volym är =

4piR^3 /3 och arean av en sfär är 4pi r^2?

kan man göra såhär i fråga a

Jordens diameter är 12 756 km omvandlar denna till m = 12756000 m

för att få fram radien 127 6000 

radien = diametern /2 alltså 127 6000m/ 2 vilket blir = 638 000 

sen läggs 10 på 638 000m= 638010m i km 638,01 km

är detta på rätt spår?  

sen ta 

4* pi * r^3 /3  = 4* pi * 638,01^3/3 = 2672,49

Någon volym är inte alls inblandad här.

Och du ska lägga 10 m till omkretsen, inte till radien.

Jordens diameter är 12756 km omvandlar denna till m = 12756 000m 

12 756 000m + 10m = 12 756 010m 

Radien = Diametern /2 

12 756 010/2 = 6378 005  jag kommer inte längre än såhär 

Du lägger fortfarande 10 m till diametern i stället för till omkretsen.

Kedjan ligger spänd runt jordklotet. Dess längd är alltså jordklotets omkrets.
Du ska använda O = $\mathrm{\pi }$*d för att först räkna ut denna omkrets (1 i figuren).
Sedan addera 10 m till den för att få den nya omkretsen (2).
Därefter räkna ut den nya diametern (3).
Ta skillnaden mellan diametrarna och dela med 2 för att få den sökta höjden (4).
Jag räknar här på diametrarna, inte radierna.

Men i fråga A) då där det står att diametern är 12 756km gör jag såhär?

 O= pi * 12 756 = 40 074,16 

40 074,16 + 10= 40 084,16 

40 084,16/2 = 20 042,08 

Skriv ut enheterna så ser du att du har adderat kilometer med meter.

Sedan har du har delat (den felaktigt uträknade) omkretsen med 2.
Men steg 3 är att från den nya omkretsen räkna ut den nya diametern: d = O/$\mathrm{\pi }$.

Vad var det som blev felaktigt?

Att du inte gör om 40 074,16 km till meter innan du adderar 10 m.

Att du inte beräknar den nya större diametern genom att dela den nya omkretsen med pi.

juste!

pi * 12 756 000m = 4007 415, 59m

4007 415, 58m  + 10m =4007 425, 59m

4007 425, 59m / pi = 1275 603, 18 

blir detta rätt?

Decimaltecknet hamnade ett steg fel. Avrunda sedan till hela meter.

Var konsekvent hur du skriver ut enheter. Skriv enhet även efter den nya diametern.

Sedan har du bara steg 4 kvar.

Blir detta bättre?

pi * 12 756 000m =40 074 156m 

40 074 156m + 10m = 40 074 166m

40 074 166m / pi = 12 756 003m 

skillnaden mellan diametrarna är 40 074 156m / 12 756 003m  =3,141..... 

Nu har du räknat ut den nya diametern.

Skillnaden mellan diametrarna är den nya större diametern minus den gamla (jordklotets diameter). (Du har räknat ut något annat, nämligen pi.)

Den skillnaden är två gånger kedjans höjd över jordytan. Se figuren.

pi * 12 756 000m =40 074 156m 

40 074 156m + 10m = 40 074 166m

40 074 166m / pi = 12 756 003m 

skillnaden mellan diametrarna är 40 074 156m - 12 756 003m  = 27 318 153m 

Förstår inte, är 27 318 153 två gånger kedjans höjd?

Men du tar inte diameter - diameter utan omkrets - diameter.
Omkretsen kommer vi inte att använda mer.

Den nya diametern är 12 756 003 m och den gamla var 12 756 000 m.
Du ser direkt att skillnaden är 3 m.

Jag skrev ovan att du kunde avrunda till hela meter. Vid närmare eftertanke bör man nog räkna med någon decimal också.
Då får du skillnaden till 3,19 m.

är de då höjden om den lyfts upp?

på fråga b) är det då 

Pi * diametern 

Pi * 110m =345,58m 

345,58m +10m = 355,58m

355,58m / pi = 133,18 m 

skillnaden = 23,18 

på fråga c) är de formeln som gjorts i fråga a och b?

a) Titta på figuren igen.
3,19 m är skillnaden mellan diametrarna som "sticker" ut på båda sidor av jordklotet.
En liten räkning kvar.

b) Du har skrivit fel, det blir 113,18 m. Skillnad 3,18 m. Alltså samma som i a)!
(Bortsett från en liten skillnad som beror på avrundning.)

c) Några formler har vi inte använt, men räkneordningen blir densamma.
Du ska alltså komma fram till en formel där du uttrycker höjden h i diametern d och förlängningen f.
Dvs d kommer att försvinna på vägen.

A) Förstår jag fortfarande inte hur jag ska räkna ut... 

C) om räkneordningen blir densamma är detta en lösning?

d*pi + x = (d+h)pi

d*pi +x = d*pi + h*pi 

 subtraherar d*pi på båda sidor och får:

x = h*pi eller

h = x/pi

Alltså ser vi att den höjd kedjan kommer att få är förlängningen /pi oavsett den ursprungliga diametern.

a) 3,19 m är sträckan som 4 pekar på i figuren plus motsvarande sträcka på andra sidan jorden.
Kedjans höjd över marken är alltså hälften av 3,19 m (skillnaden mellan diametrarna).

c) Smart uppställning, som inte riktigt är den räkneordning vi använde.
Men ökningen av diametern är 2h, så där du har skrivit h ska det vara 2h och resultatet blir h = x/2pi.
Din slutsats är alldeles riktig.

I uppgiften vill de att du ska använda f för förlängningen i stället för x.

1. Jag håller på med samma Uppgift och jag fick följande resultat, tror ni att de här blir rätt??

svaret på höjd skillnaden är då 1,596?

Arizona skrev:

A) Förstår jag fortfarande inte hur jag ska räkna ut... 

 

C) om räkneordningen blir densamma är detta en lösning?

d*pi + x = (d+h)pi

d*pi +x = d*pi + h*pi 

 subtraherar d*pi på båda sidor och får:

x = h*pi eller

h = x/pi

Alltså ser vi att den höjd kedjan kommer att få är förlängningen /pi oavsett den ursprungliga diametern.

Det är nästan rätt.

Den första ekvationen skall vara d$\pi$ + x = (d + 2h)$\pi$. Notera att om kedjan ligger h över marken så har diametern ökat med 2h (rita figur så inser du varför).

Så vi får därför att h = $\frac{x}{2\pi }$.

Höjden är 1,6 meter, med lämplig avrundning.

PATENTERAMERA: figur finns ovan, liksom resonemang om varför det blir 2h.

Khalil: a) stämmer med vad vi kom fram till, så när som på att du också måste dela diameterskillnaden med 2 för att få höjden.
Samma på b).

blir detta då en bra uppställning för en fullstädning lösning?

a)

pi * 12 756 000m =40 074 156m 

40 074 156m + 10m = 40 074 166m

40 074 166m / pi = 12 756 003m 

Skillnaden är 3 m 

höjden blir Skillnaden mellan diametrarna alltså ca 1,6 m 

b)

Pi * diametern 

Pi * 110m =345,58m 

345,58m +10m = 355,58m

355,58m / pi = 133,18 m 

skillnaden = 3m 

C)

d*pi + f = (d+2h)pi

d*pi +f = d*pi + h*pi 

 subtraherar d*pi på båda sidor och får:

f = h*pi eller

h = f/pi

Alltså ser vi att den höjd kedjan kommer att få är förlängningen /pi oavsett den ursprungliga diametern.

a) Ja, fast jag som sagt nu anser att det ska vara någon decimal till under uträkningarna.

 "höjden blir Skillnaden mellan diametrarna alltså ca 1,6 m"

b) 113,18 m i st f 133,18 m. Dela med 2 för svaret.

c) Du har tappat 2:an efter första raden.

a)

pi * 12 756 000m =40 074 155,89m 

40 074 155,89m + 10m = 40 074 165,89m

40 074 165,89m / pi = 12 756 003,18m 

Skillnaden är 3 m 

höjden blir  ca 1,6 m 

b)

Pi * diametern 

Pi * 110m =345,58m 

345,58m +10m = 355,58m

355,58m / pi = 113,18m 

skillnaden = 3m 

C)

d*pi + f = (d+2h)pi

d*pi +f = d*pi + 2h*pi 

 subtraherar d*pi på båda sidor och får:

f = 2h*pi eller

h = f/pi

Alltså ser vi att den höjd kedjan kommer att få är förlängningen /pi oavsett den ursprungliga diametern.

a) Med den större precisionen blir skillnaden 3,18 m och höjden 1,6 m.

b) Samma som i a)

c) h = f/2pi