En integral som rotar sig i pi.

Hej!

Följande problem är resultatet av min matematiksession denna tisdagskväll:

Bestäm ett exakt uttryck för värdet på integralen:

Integranden kan uttryckas med en välkänd serie...

Visa spoiler

$x^{\frac{1}{2^2}} \cdot x^{\frac{1}{3^2}} \cdot x^{\frac{1}{4^2}} \cdots = x^{\frac{1}{2^2} + \frac{1}{3^2} + \frac{1}{4^2} + \cdots }$

Det är välkänt att denna serie antar värdet

Visa spoiler

$\frac{1}{2^2} + \frac{1}{3^2} + \frac{1}{4^2} + \cdots = \frac{\pi^2}{6}-1$

så integralen är i själva verket lika med $\frac{6}{\pi^2}$ .

Visa spoiler

$\displaystyle\int_{0}^{1} x^{\frac{\pi^2}{6}-1}\,dx = \frac{6}{\pi^2}.$

Svara