Fråga om matriser relaterad till Kalmanfiltret

Hej!

Jag skriver min masteruppsats om ett ämne anknutet till multivariata finansiella tidsserier och jag skulle behöva svar på en fråga relaterad till Kalmanfiltret. Frågan gäller dock för generella matriser.

Anta att $\Sigma \in \mathbb{R}^{n \times n}$ är en giltig kovariansmatris, d.v.s. symmetrisk och positivt semidefinit. Anta också att $H \in \mathbb{R}^{d \times n}$ har full rang. Då är matrisen $H\Sigma H^{T}$ inverterbar.

Fråga:

Vad kan vi säga om matrisen:

$K = \Sigma H^{T}(H \Sigma H ^{T})^{-1}$

Om $H \in \mathbb{R}^{n \times n}$ har vi ju $K= H^{-1}$ , men vad gäller generellt?

Att $HK=I$ är självklart, men vad gäller för $KH$ ?

För de som känner till Kalmanfiltret:

Anledningen till att jag frågar är att jag vill veta vad som händer med Kalman gain när kovariansen av den observerade processen går mot noll, eller mer specifikt av den posteriöra skattningen av tillstånd och kovarians.

Skattningen av alla tillstånd som mäts bör ju gå mot de observerade värdena med noll varians rent intuitivt – är det sant och kan jag i så fall visa det? Är det någon med bra koll på Kalmanfiltret som tar sig för pannan för att jag har missat något så hojta gärna till!

Tack på förhand!

EDIT: Ändrade notation för att undvika förvirring

Uppdatering:

För $d=1$ och $n=2$ och

$\Sigma = \begin{pmatrix} \sigma_{11} & \sigma_{12} \\ \sigma_{12} & \sigma_{22} \end{pmatrix}$

$H = \begin{pmatrix} h_{1} & h_{2} \end{pmatrix}$

fås

$K = \frac{1}{h_{1}^{2}\sigma_{11}+2h_{1}h_{2}\sigma_{12}+h_{2}^{2}\sigma_{22}} \begin{pmatrix} h_{1} \sigma_{11} +h_{2} \sigma_{12}\\ h_{1}\sigma_{12} + h_{2}\sigma_{22} \end{pmatrix}$

$KH = \frac{1}{h_{1}^{2}\sigma_{11}+2h_{1}h_{2}\sigma_{12}+h_{2}^{2}\sigma_{22}} \begin{pmatrix}h_{1}^{2}\sigma_{11} +h_{1}h_{2} \sigma_{12} & h_{1}h_{2}\sigma_{11} +h_{2}^{2} \sigma_{12}\\h_{1}^{2}\sigma_{12} +h_{1}h_{2} \sigma_{22} & h_{1}h_{2}\sigma_{12} +h_{2}^{2} \sigma_{22} \end{pmatrix}$

För det enkla fallet där $H=(1, 0)$ fås

$KH = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ \frac{\sigma_{12}}{\sigma_{11}} & 0 \end{pmatrix}$

Detta innebär att den posteröra skattningen av tillståndet $x_{1}$ är densamma som det uppmätta värdet av $z$ i Kalmanfiltret. Det innebär också att den posteröra skattningen av kovariansen av $x$ ger noll osäkerhet för det uppmätta tillståndet ( $x_{1}$ ), eftersom

$K(z-Hx) = \begin{pmatrix} z \\ x_{2}+\frac{\sigma_{12}}{\sigma_{11}}(z-x_{1}) \end{pmatrix}$

$\Sigma-KH\Sigma = \begin{pmatrix} 0 & 0 \\ 0 & \frac{\sigma_{12}^2}{\sigma_{11}} \end{pmatrix}$

Hur kan jag visa detta för generella värden på $n$ och $d \leq n$ ?

Vad händer när t.ex. $P = (1, -1)$ , alltså där vi mäter skillnaden mellan $x_{1}$ och $x_{2}$ ? Kovariansen kommer såklart inte här gå mot noll, men kan vi visa att skillnaden mellan de posteriöra skattnignarna går mot $z$ ?

Jag inser nu att frågan kanske relaterar mer till Kalmanfiltret specifikt än matriser generellt. Helt enkelt, har någon ett bevis på att $z = Hx̂$ där $z$ är mätningen och $x̂$ är den posteriöra skattningen av tillståndet när vi inte har något mätbrus?

Notera att jag använder samma notation som i https://en.wikipedia.org/wiki/Kalman_filter förrutom P som jag här kallar $\Sigma$ för att göra det tydligt att det är en kovariansmatris. För enkelhetens skull kollar jag också på ett tidssteg, och skippar därför indexeringen.

PS: Går det att förhandsgranska på något sätt? Just nu gör jag det i Overleaf som inte alls beter sig likadant.

Svara