En fråga om integrationsgränser

Hej, jag stötte på ett lösningsförslag i min lärobok som gör mig lite förvirrad.

Jag undrar rörande förändrandet av integrationsgränserna. Måste denna förändring ske på detta vis?
Jag gjorde själv så här:

$\int_{0}^{10} \frac{40}{100 + x^{2}} d x = \frac{4}{10} \int_{0}^{10} \frac{1}{1 + {(\frac{x}{10})}^{2}} d x = [t = \frac{x}{10} \Leftrightarrow x = 10 t \frac{d x}{d t} = 10 \Leftrightarrow d x = 10 d t] \frac{4}{10} \int_{0}^{10} 10 \cdot \frac{1}{100 + t^{2}} d t = 4 \cdot [a r c \tan (t)] \begin{matrix} 10 \\ 1 \end{matrix} 4 \cdot [a r c \tan (\frac{x}{10})] \begin{matrix} 10 \\ 1 \end{matrix} 4 \cdot (a r c \tan 1 - a r c \tan 0) = π$

Måste jag ändra integrationsgränsen eller funkar min lösning?
(av någon anledning vägrar slutklammern ] på insättningen att hamna på rätt plats, hoppas ni kan han överseende med detta)

Det går lika bra att byta ut t till x när du räknat ut primitiven och stoppa in de vanliga gränserna istället.

Du får visserligen rätt svar men integrationen i t-variabeln är inte korrekt. Kolla igen!

När det gäller obestämda integraler med variabelbyte, gäller att man i svaret byter tillbaka till ursprungliga variabler.

Har vi däremot bestämda integraler med variabelbyte, byter vi såväl gränser som integrand. ” Bytt är bytt ” vid bestämda variabelbytesintegraler.

Ja du måste byta integrationsgränser för att det ska vara helt matematiskt korrekt. Du får rätt svar eftersom du i slutändan byter tillbaka från t till x och återigen struntar i att byta integrationsgräns. Så i det här fallet tog felen ut varandra.

Svara

Visa senaste svar