En fråga om egenvärden och egenvektorer

Hej!
Jag sitter med en gammal tenta uppgift där jag ska bestämma samtliga egenvärden och egenvektorer till matrisen


$A= \left(\begin{array}{ccc}2& 1& 1\\ 1& 0& 1\\ 1& 1& 0\end{array}\right)$

Jag använde $det(\lambda I-A)=0$ för att plocka fram egenvärden och $(\lambda I-A)X=0$ för att sedan plocka fram egenvektorer. Det blev en del räknande:

$$\begin{gathered} det(\lambda I-A)=\left|\begin{array}{ccc}(\lambda -2)& -1& -1\\ -1& \lambda & -1\\ -1& -1& \lambda \end{array}\right| = \\ {\lambda }^2(\lambda -2)-1-1-\lambda -\lambda -(\lambda -2) \\ {\lambda }^2(\lambda -2) -2 -2\lambda -(\lambda -2) \\ {\lambda }^2(\lambda -2)-3\lambda \\ \lambda ({\lambda }^2-2\lambda -3) \\ \lambda (\lambda +1)(\lambda -3) \\ Vilket gav mig egenvärdena \\ {\lambda }_1=0 \\ {\lambda }_2=-1 \\ {\lambda }_3=3 \end{gathered}$$

Från dessa räknade jag fram egenvektorerna m.h.a. ekvationssystem.

$$\begin{gathered} {\lambda }_1 = 0 gav: \overline{u_1}=t(-1,1,1) \\ {\lambda }_2 = -1 gav: {\overline{u}}_2=t(0,-1,1) \\ {\lambda }_3 = 3 gav: {\overline{u}}_3=t(2,1,1) \end{gathered}$$

När jag sedan rättade så använde de i facit $det(A-\lambda I)=0$. Jag har inte sett den varianten någonstans. Egenvärdena stämmer men, egenvektorerna u₂ och u₃ har i facit bytt värden.
Är det jag som räknat knas? eller är det resultat av att de använder en annan formel än vad jag gjorde?