En fråga jag kom på, jag vill ha ledtrådar

Hej:

Två löpare springer på en 300-meters bana, de börjar parallellt med varandra. Den enda springer 2,7m/s och den andra 3,1m/s (jag välde fula nummer med flit), a) efter hur många sekunder kommer de springa paralllellt med varandra igen för första gången? b) hur många meter efter startlinjen händer detta? c) efter hur lång tid kommer båda springa parallellt med varandra på startlinjen igen?

Jag fasnade redan på a). Det går det inte med decimaltal när jag använder mgmfunktionen (minsta gemensama multipel) på miniräknaren... Jag ställde därför upp en moduloekvation: $2, 7 x \equiv 3, 1 x (m o d 300)$ där x=tiden som vi söker. Jag ser direkt att x=0 är en lösning såklart, men vilken den andra lösningen är vet jag inte.

Kan svaret på c) någonsin vara "aldrig!", givet att banan är av ändlig längd?

c) 300m är rätt långt från oändligt :-) Så, svaret är inte 'aldrig'

Standardfråga 1a: Har du ritat?

Vilken form har löparbanan? Om det är en cirkel (eller två halvcirklar + långsidor): Är det den inre eller den yttre löparens bana som är 300 m lång, eller springer de i samma bana?

a) (bara tips, inte en fullständig lösning och ingen förklaring ...)
Hoppas att det ger dig en idé.

$3, 1 x \equiv 2, 7 x (m o d 300) 3, 1 x - 2, 7 x = n \cdot 300 x = n \cdot 750$

Smaragdalena skrev:
Standardfråga 1a: Har du ritat?
Vilken form har löparbanan? Om det är en cirkel (eller två halvcirklar + långsidor): Är det den inre eller den yttre löparens bana som är 300 m lång, eller springer de i samma bana?

Ah, jag tänkte samma bana och oändligt tunna löpare. Då spelar banans form ingen roll.

Sånna detaljer tänkte jag inte på... banan är lika lång för båda två och det är en cirkel. Jag vet att det inte är praktiskt möjligt men vi säger så.

Joculator: att subtrahera på båda sidor... Det känns alldeles för bra för att vara sant. Men uppenbarligen funkar det!

Nu går jag vidare till b) och c)

Du verkar tänka som en fysiker - skala bort alla besvärliga verklighetskrångel och behåll bara det mest väsentliga. Tänk dig en sfärisk ko i vakuum...

Anta att de springer parallellt med varandra efter x sekunder, detta innebär att: $3, 1 x \equiv 2, 7 x (m o d 300) x = 750 n, n \in ℤ^{+}$ (joculators lösning)

b) $2, 7 \times 750 n (m o d 300) = 3, 1 \times 750 n (m o d 300) = 225 n (m o d 300)$ där $2, 7 \times 750 n, 3, 1 \times 750 n$ är hastighet*x vilket är alla sträckor efter startlinjen då de kommer springa parallellt med varandra, enheten är meter. Jag söker ett n så att $225 n \equiv 0 (m o d 300)$ . Jag vet faktiskt inte hur man gör... Ekvationen är så enkel!

Om banan är rak så kommer löparna aldrig att springa parallellt med varandra.
Om banan är en cirkelring med inre omkrets 300 meter (och löpare A springer längs denna ring) och yttre omkrets 300000 meter (och löpare B springer längs denna ring) så kommer löparna aldrig att springa parallellt med varandra.

Slutsats: Banans form spelar roll!

Var därför vänlig att noga specificera banans form och var någonstans löparna springer på denna bana.

Det finns bara en bana, båda löparna springer på den. Löparna är gjorda av rök vilket gör att de kan stå i varandra och springa igenom varandra.

När jag säger att den ena springer parallellt med den andra menar jag egentligen att de är inuti varandra.

aha, de är spöken! Kul uppgift :-)

Du skriver att jag subtraherade från bägge sidor men det är inte korrekt. Det jag gör är att utnyttja hur mod fungerar.
Du fick $3, 1 x \equiv 2, 7 x (m o d 300)$ men vad betyder det egentligen?
En av betydelserna är att differansen 3,1x-2.7x måste vara en mutipel av 300. Observera att det nu är ett = inte $\equiv$
Det är alltså egentligen inte ett steg i en ekvationslösning, det är en följd av raden ovan.

Observera också att detta inte är svaret på fr¨gan. Detta ger ALLA gånger de springer parallellt men det var inte det de frågade efter i a)

-------------------------------------------------

Så till din nya fråga. b)
I a räknade du ut att tiderna var n*750 sekunder nu undrar man hur många meter efter startlinjen detta sker
Första gången efter de börjat springa är när n=1 (n=0 är ju när de startar)
Sen räcker det med att du tittar på en av löparna, tex den med hastigheten 3,1m/s
Hur långt har den löparen sprungit när löparna för första gången springer parallelt? Hur långt är det efter startlinjen?
löparen har sprunget 3,1*750=2325 meter. Men hur långt är det efter startlinjen?
Du bör också fundera på varför det räcker att titta bara på den ena löparen. Vad händer om du tittar på den andra istället? Detta kanske ger dig en större förståelse.

-----------------------------
Du undrade även hur man löser uppgifter som:
$225 n \equiv 0 (m o d 300)$
Du skulle ju kunna testa med n=0,1,2,3,4,5,6 tills du får ett tal du kan dela med 300. Du får n=4 vilket ger att n=4 och alla multiplar av 4 är lösningar. Så n=4k (där k är ett heltal)

Men finns det något lättare/annat/snabbare sätt?
$225 n \equiv 0 (m o d 300)$ vilket ger (precis som vi gjorde på a)
255n-0=k*300
n=300k/225=4k

Svara

Visa senaste svar