En fråga i en geometri kurs på universitetet
Medianerna från hörn A och B i en ABC med olika långsidor är 3 respektive 6 cm. Arean av triangeln är 3√15 cm. Bestäm längden på den tredje medianen.
Denna fråga har hela klassen fastnat på och jag har lagt flera timmar på den! Svårt att se var man ska börja och var man ska hamna. Några förslag till lösning önskas :)
Ur arean och medianen får du sidans längd. Med två sidor och arean får du en vinkel med areasatsen och sen kan du räkna ut den tredje sidan.
Tror jag.
Jag ser ingen enkel lösning på det här.
Nyckel är förstås att medianerna delar triangeln i sex mindre trianglar alla med samma area samt att tyngdpunkten delar medianerna i förhållandet 1:2.
Antag nu att ABC har tyngdpunkten M.
Konstruera triangeln BCD kongruent med ABC sådan att ABDC är en parallellogram. Antag att att BCD har tyngdpunkt M´. Triangeln BMM´ har sidlängder som enkelt kan uttryckas i termer av ABC:s medianer. Dess area är en tredjedel av ABC:s area. Herons formel bör nu ge dig en ekvation som ger dig den tredje medianens längd.
Ser inget enklare än så.
