En fråga.

Eftersom det är förfärligt tråkigt att beräkna 1^.7=7, 2^.7=14, 3^.7=21 och så vidare ända upp till 76^.7=532 som är kungruent (mod 77) med 70för att få fram vilket tal som ger resten 7, så har man hittat på ett smart (men ganska långsökt) sätt att lösa uppgiften, som bygger på hur man räknar med Eulers fi.

Smaragdalena skrev:

Eftersom det är förfärligt tråkigt att beräkna 1^.7=7, 2^.7=14, 3^.7=21 och så vidare ända upp till 76^.7=532 som är kungruent (mod 77) med 70för att få fram vilket tal som ger resten 7, så har man hittat på ett smart (men ganska långsökt) sätt att lösa uppgiften, som bygger på hur man räknar med Eulers fi.

Men vad e det 7 invers betyder här? Är det mod 7?

Smaragdalena skrev:

Eftersom det är förfärligt tråkigt att beräkna 1^.7=7, 2^.7=14, 3^.7=21 och så vidare ända upp till 76^.7=532 som är kungruent (mod 77) med 70för att få fram vilket tal som ger resten 7, så har man hittat på ett smart (men ganska långsökt) sätt att lösa uppgiften, som bygger på hur man räknar med Eulers fi.

Jag ser nog inte det smarta. Jag tycker bara de har hittat på ett komplicerat sätt att skriva 60.

mrlill_ludde skrev:

Smaragdalena skrev:

Eftersom det är förfärligt tråkigt att beräkna 1^.7=7, 2^.7=14, 3^.7=21 och så vidare ända upp till 76^.7=532 som är kungruent (mod 77) med 70för att få fram vilket tal som ger resten 7, så har man hittat på ett smart (men ganska långsökt) sätt att lösa uppgiften, som bygger på hur man räknar med Eulers fi.

Men vad e det 7 invers betyder här? Är det mod 7?

7 invers är det tal som multiplicerat med 7 ger 1. Modulo 60 i det här fallet. 

Inversen till $7$ är det tal som blir ett när du multiplicerar det med $7$ i det givna modulot, d.v.s. $7\cdot7^{-1}\equiv1\ \pmod{\varphi(77)}$.

Jag vet inte om jag skulle säga att uppgiften egentligen har särskilt mycket att göra med Eulers fifunktion, den används egentligen bara för att ange modulot. Man hade lika gärna kunnat skriva $7^{-1}\ \pmod{60}$ och då hade Eulers fifunktion inte alls behövt användas.

Lösningsmetoden går ju ut på att vi kallar inversen $a$ och omvandlar ekvationen $7\cdot a\equiv1\ \pmod{60}$ till den diofantiska ekvationen $7a+60b=1$ och löser med Euklides algoritm baklänges.

Hur skulle man få fram att man skall räkna just modulo 60 utan att använda Eulers fi-funktion?

Smaragdalena skrev:

Hur skulle man få fram att man skall räkna just modulo 60 utan att använda Eulers fi-funktion?

Vad är det som är speciellt med modulo $60$?

Det blir väl i princip exakt samma uppgift om man räknar modulo $61$, eller vilket annat tal som helst som är relativt prima med $7$?

Då begriper jag int evarför man anvönder fi-funktionen alls.

Smaragdalena skrev:

Då begriper jag int evarför man anvönder fi-funktionen alls.

Kanske ville man testa förmågan att använda fifunktionens egenskaper utan att behöva göra en separat fråga om det och bakade därför bara in det i en fråga om något annat.

AlvinB skrev:

Inversen till $7$ är det tal som blir ett när du multiplicerar det med $7$ i det givna modulot, d.v.s. $7\cdot7^{-1}\equiv1\ \pmod{\varphi(77)}$.

Jag vet inte om jag skulle säga att uppgiften egentligen har särskilt mycket att göra med Eulers fifunktion, den används egentligen bara för att ange modulot. Man hade lika gärna kunnat skriva $7^{-1}\ \pmod{60}$ och då hade Eulers fifunktion inte alls behövt användas.

Lösningsmetoden går ju ut på att vi kallar inversen $a$ och omvandlar ekvationen $7\cdot a\equiv1\ \pmod{60}$ till den diofantiska ekvationen $7a+60b=1$ och löser med Euklides algoritm baklänges.

Men asså. Vad är egentligen Eulers FI funktion?

fi(n) är antalet positiva heltal mindre än n som är relativt prima n.

parveln skrev:

fi(n) är antalet positiva heltal mindre än n som är relativt prima n.

Men vad har set med modell rökning o göra?

mrlill_ludde skrev:

parveln skrev:

fi(n) är antalet positiva heltal mindre än n som är relativt prima n.

Men vad har set med modell rökning o göra?

Vad menar du med 'modell rökning'?

AlvinB skrev:

mrlill_ludde skrev:

Visa föregående citat

parveln skrev:

fi(n) är antalet positiva heltal mindre än n som är relativt prima n.

Men vad har set med modell rökning o göra?

Vad menar du med 'modell rökning'?

Oj jäklar. Sitter på paddan o blev autokorrekt. Menade modolo räkning 

Som vi diskuterat har Eulers fifunktion egentligen inte så mycket att göra med denna uppgift. Den används egentligen bara för att skriva $60$ på ett lite krångligare sätt.

Det finns däremot andra uppgifter inom kongruensräkning där Eulers fifunktion är användbar. Ett bra exempel är Eulers sats, som säger att:

$a^{\varphi(n)}\equiv1\ \pmod{n}$

där $a$ och $n$ är relativt prima. Dock är detta inte så användbart just här.

AlvinB skrev:

Smaragdalena skrev:

Då begriper jag int evarför man anvönder fi-funktionen alls.

Kanske ville man testa förmågan att använda fifunktionens egenskaper utan att behöva göra en separat fråga om det och bakade därför bara in det i en fråga om något annat.

Men grejen är, de räknar mod 60 här eller hur? eller är det mod 77? (blir så snurrig)
och varför använder man 7* 7 invers?

mrlill_ludde skrev:

AlvinB skrev:

Visa föregående citat

Smaragdalena skrev:

Då begriper jag int evarför man anvönder fi-funktionen alls.

Kanske ville man testa förmågan att använda fifunktionens egenskaper utan att behöva göra en separat fråga om det och bakade därför bara in det i en fråga om något annat.

Men grejen är, de räknar mod 60 här eller hur? eller är det mod 77? (blir så snurrig)
och varför använder man 7* 7 invers?

Det står (mod phi(77)). phi(77) = 60, så (mod phi(77)) är samma sak som (mod 60).

Att räkna ut 7 invers här är ju själva uppgiften. Vad menar du med "använder 7 * 7 invers"? 

Laguna skrev:

mrlill_ludde skrev:

Visa föregående citat

AlvinB skrev:

Smaragdalena skrev:

Då begriper jag int evarför man anvönder fi-funktionen alls.

Kanske ville man testa förmågan att använda fifunktionens egenskaper utan att behöva göra en separat fråga om det och bakade därför bara in det i en fråga om något annat.

Men grejen är, de räknar mod 60 här eller hur? eller är det mod 77? (blir så snurrig)
och varför använder man 7* 7 invers?

Det står (mod phi(77)). phi(77) = 60, så (mod phi(77)) är samma sak som (mod 60).

Att räkna ut 7 invers här är ju själva uppgiften. Vad menar du med "använder 7 * 7 invers"? 

Ja men du multiplicerade ju med 7 för att få 1. I fösta inlägget torr jag. Citerar dig. Undrar varför man för så 😳

AlvinB skrev:

Inversen till $7$ är det tal som blir ett när du multiplicerar det med $7$ i det givna modulot, d.v.s. $7\cdot7^{-1}\equiv1\ \pmod{\varphi(77)}$.

Jag vet inte om jag skulle säga att uppgiften egentligen har särskilt mycket att göra med Eulers fifunktion, den används egentligen bara för att ange modulot. Man hade lika gärna kunnat skriva $7^{-1}\ \pmod{60}$ och då hade Eulers fifunktion inte alls behövt användas.

Lösningsmetoden går ju ut på att vi kallar inversen $a$ och omvandlar ekvationen $7\cdot a\equiv1\ \pmod{60}$ till den diofantiska ekvationen $7a+60b=1$ och löser med Euklides algoritm baklänges.

Denna. 

Det är definitionen av en invers

Det är det som är definitionen av invers. Inversen till $7$ modulo $60$ (samma sak som $\varphi(77)$) är det tal $7^{-1}$ som uppfyller att

$7\cdot7^{-1}\equiv1\ \left(\text{mod 60}\right)$

Varför är det då användbart att kunna beräkna en invers? Jo, om vi t.ex. har kongruensekvationen

$7x\equiv3\ \pmod{60}$

kan vi multiplicera båda led med inversen (kom ihåg att man inte får dela båda led med något hur som helst när det gäller kongruensekvationer) $7^{-1}$ för att få $x$ ensamt i vänsterled:

$\underbrace{7^{-1}\cdot7}_{\equiv1}\cdot x\equiv3\cdot7^{-1}\ \left(\text{mod 60}\right)$

$x\equiv3\cdot7^{-1}\ \pmod{60}$

och därmed lösa ekvationen.

Ja men du multiplicerade ju med 7 för att få 1. I fösta inlägget torr jag. Citerar dig. Undrar varför man för så

Uppgiften är ju att beräkna 7^-1(mod77), d v s ta reda på vilket tal som ger produkten 1 när det multipliceras med 7 (mod11).

Dert verkar som om det är läsförståelse du behöver träna på i första hand för att klara av dina matematikstudier. Lägg undan matteböckerna och gå till biblioteket, låna ett halvdussin skönlitterära böcker och läs dem inan du plockar fram matteböckerna igen. Det verkar också vettigt att du bläddrar igenom dina matteböcker förån föregående kurser, eftersom  det ser ut som om du har glömt det som du borde ha lärt dig där.

Vi som svarar kan ju också svara utförligare, framför allt om vi gissar rätt på vad som ligger bakom elevernas undringar, men i alla fall jag svarar ganska kortfattat, med tanken att eleven egentligen vet eller i alla fall kommer ihåg, och bara behöver påminnas, eller bara bli informerad om någon ovanlig notation. Visar det sig inte räcka, så skriver jag mer när jag tror jag vet vad som skulle hjälpa. Andra skriver utförligare redan från början.

Smaragdalena skrev:

Ja men du multiplicerade ju med 7 för att få 1. I fösta inlägget torr jag. Citerar dig. Undrar varför man för så

Uppgiften är ju att beräkna 7^-1(mod77), d v s ta reda på vilket tal som ger produkten 1 när det multipliceras med 7 (mod11).

Men var/vad i meningen "Beräkna 7^(-1) mod fi(77)" betyder/säger att man ska hitta ett tal som ger just produkten 1? varför just 1? hur ska man per automatik förstå att det är just 1????

är det för att ett fi är med i det hela??? eller är det för att det är en invers?

för jag försöker jämföra den här uppgiften  "vanlig" konvergensräkning, ett exempel:

12 = 2 (mod 5)

här är det ju bara att räkna, inte multiplicerar jag med 12 invers här eller håller på...?!

En invers inom kongruensräkning är alltid det tal som ger produkten $1$. Att det är en invers du skall räkna ut ser du genom att det står $-1$ uppe till höger om $7$:an.

AlvinB skrev:

En invers inom kongruensräkning är alltid det tal som ger produkten $1$. Att det är en invers du skall räkna ut ser du genom att det står $-1$ uppe till höger om $7$:an.

Jaha det visste inte jag. 

mrlill_ludde skrev:

AlvinB skrev:

En invers inom kongruensräkning är alltid det tal som ger produkten $1$. Att det är en invers du skall räkna ut ser du genom att det står $-1$ uppe till höger om $7$:an.

Jaha det visste inte jag. 

Det tyder på att du borde följa rådet jag gav dig en bit uppi den här tråden:

Det verkar också vettigt att du bläddrar igenom dina matteböcker förån föregående kurser, eftersom det ser ut som om du har glömt det som du borde ha lärt dig där.

Följ gärna första delen av rådet också.

Smaragdalena skrev:

mrlill_ludde skrev:

Visa föregående citat

AlvinB skrev:

En invers inom kongruensräkning är alltid det tal som ger produkten $1$. Att det är en invers du skall räkna ut ser du genom att det står $-1$ uppe till höger om $7$:an.

Jaha det visste inte jag. 

Det tyder på att du borde följa rådet jag gav dig en bit uppi den här tråden:

Det verkar också vettigt att du bläddrar igenom dina matteböcker förån föregående kurser, eftersom det ser ut som om du har glömt det som du borde ha lärt dig där.

Följ gärna första delen av rådet också.

Neee, inte det. Det var väl mer att jag inte har stött på invers i mod-räkning förut. Första gången i den här kursen :S