En fabrik

Om y(0) = c, vad är då y(4)? 

Nu förstår jag inte. 4 är ju år. Det ska sättas där x ska vara. 

y( 4)= nej jag vet inte. 

y(x) = c*a^x

På 4 år har y minskat med 20 % av det ursprungliga värdet. Är du med på att det kan skrivas

y(4) = 0.8*y(0)

?

Detta ger dig värdet på a.

(du vet att 

y(0) = c*a^0 = c och y(4) = c*a^4)

Du svarade inte riktigt på frågorna i mitt förra inlägg.

1. På 4 år har y minskat med 20 % av det ursprungliga värdet. Är du med på att det kan skrivas

y(4) = 0.8*y(0)

?

2. Du vet också enligt den formel du använder att

y(4) = c*a^4

(fast du har skrivit 4 = c*a^4 och det stämmer inte)

och även att

y(0) = c*a^0 = c (eftersom a^0 = 1, eller hur?)

3. Kombinerar du 1. och 2. ovan så får du att

y(4) = 0.8*y(0)

är samma sak som

c*a^4 = 0.8*c

Värdet på a kan du då lösa ut. 

Spelar värdet på c någon roll för att lösa uppgiften?

På b) får du istället lösa olikheten

y(x) < 0.5*y(0)

Hur set det ut om du ställer upp olikheten och förenklar?

Vad ska jag skriva andra sidan? 

Är du med på att efter x år så är utsläppen 

y(x) = c*a^x

a har du räknat ut. 

Från början var utsläppen

y(0) = c*a^0 = c

Frågan är efter hur många år (x) är utsläppen mindre än hälften av vad de var från början, alltså 0.5*y(0) = 0.5*c.

Det ger olikheten 

c*a^x < 0.5*c

Du verkar använda att a = 0.054, men det stämmer väl inte? 

Ska det vara då a =0. 945?

Ja, precis

a = 0.8^(1/4)

Det blev inte rätt. 

Päivi skrev :

Hej Päivi.

Jag skulle lösa problemet på följande sätt:

Uppgift a)

Vi kallar förändringsfaktorn under ett år för $x$. Den totala förändringsfaktorn efter 4 år är då $x^4$. Eftersom minskningen under denna tid ska vara sammanlagt 20 procent så ska den totala förändringsfaktorn vara 0,8.

Det ger oss ekvationen $0,8=x^4$, med lösningen $0,8^{\frac{1}{4}}=x$, vilket innebär att $x\approx 0,9457$.

Om förändringsfaktorn är 0,9457 så är minskningen $1-0,9457\approx 5,4 \%$ 

Svar: Den årliga minskningen bör vara cirka 5,4 %

Uppgift b)

Vi vill att den totala förändringsfaktorn ska vara åtminstone 0,5. Vi räknar ut hur många år t det tar tills den totala förändringsfaktorn är 0,5. Vi använder nu det exakta värdet på den årliga förändringsfaktorn, nämligen $0,8^{\frac{1}{4}}=0,8^{0,25}$.

Vi vill alltså att $0,5={\left(0,8^{0,25}\right)}^t$

Vi logaritmerar bägge sidor:

$lg(0,5)=lg\left({\left(0,8^{0,25}\right)}^t\right)$

Använd logaritmlag $lg\left(a^b\right)=b·lg\left(a\right)$ på högerledet:

$lg(0,5)=t·lg\left(0,8^{0,25}\right)$

Dividera med $lg(0,8^{0,25})$:

$\frac{lg(0,5)}{lg\left(0,8^{0,25}\right)}=t$

Beräkna t:

$t\approx 12,425$

Svar: Utsläppen kommer att ha minskat till hälften av de ursprungliga efter 13 år.

Va miniräknaren är petig. 

Tack för detta, Yngve!