En cirkulär kon

Vilken enhet har uttrycket dh/dt ?

Om man tänker på hur en derivata definieras, som ett gränsvärde när "dt" går mot noll, så ser man att man kan få ett ungefärligt värde på den här derivatan genom att räkna på ett mycket litet dt och ett dh som hänger ihop med detta dt. Du behöver nog inte göra de exakta beräkningarna, utan mest förstå vad det är du räknar fram.

(Uppgiften är en aning orealistisk, eftersom det är svårt att få ett konstant flöde ut ur en kon.)

dh/dt är väl dm per minut om man inte omvandlar till meter.

 Ja, sträcka per tid, alltså en hastighet.

2 liter per minut är en volym per tid - det är en area gånger en sträcka per tid. Låter det konstigt? Fundera på det tills det känns naturligt.

Vi vet att flödet är 2 liter per minut, och så söker vi en sträcka per tid. Kommer du vidare?

Jag skulle använda kedjeregeln. Dvs:

$\frac{dh}{dt}=\frac{dh}{dV}\times \frac{dV}{dt}$

dh/dV kan du bestämma om du tar fram ett uttryck för h som funktion av V och deriverar map V

dV/dt är givet i uppgiften

Hej!

Vattenkonen är likformig med behållar-konen, vars volym är $V$ och vars höjd är $H$. När vattenkonens höjd är $h$ så är dess volym $v(h)$ liter. Likformigheten ger förhållandet

    $\displaystyle\frac{v(h)}{V} = (\frac{h}{H})^{3}.$

Derivering med avseende på $h$ ger

    $\displaystyle\frac{dv(h)}{dh} = 3V \cdot \frac{h^2}{H^3} \quad\Leftrightarrow\quad \frac{dv(h)}{dh} =3\cdot\frac{v(h)}{h}.$

Kedjeregeln ger derivatan med avseende på tiden $t$ minuter.

    $\displaystyle\frac{dv(h(t))}{dt} = \frac{dv(h)}{dh} \cdot \frac{dh}{dt} = 3\cdot\frac{v(h)}{h} \cdot \frac{dh}{dt}.$

Du vet att vattenkonens volym minskar med hastigheten $2$ liter mer minut, det vill säga

    $\displaystyle\frac{dv(h(t))}{dt} = -2.$

Sambandet ovan låter dig beräkna derivatan $\frac{dh}{dt}$ när $h=8$ decimeter.

    $\displaystyle\frac{dh}{dt} = -\frac{2\cdot 8}{3v(8)}.$

Det återstår att beräkna vattenkonens volym $v(8)$.

Jag tycker det är enklast att räkna utan derivator:

När h är 0.8m så är vattenytans radie 0.4m (eftersom halva toppvinkeln är 30 grader. Radien blir 0.8m * sin (30grader) )

Vattenytans area är $\mathrm{\pi }·(0.4\mathrm{m}{)}^2 =\hspace{0.17em}0.16\mathrm{\pi } {\mathrm{m}}^2$

För att få ut flödet $2 m^3/s$ måste alltså vattenytan flytta sig med hastigheten $\frac{2 m^3/s}{0.16\mathrm{\pi } m^2}=\frac{100}{8\mathrm{\pi }}m/s$

EDIT: ...och det blir såklart en sextiondel så stort om man räknar med rätt flöde...

Ska man inte derivera formeln v= πr^2h/2.  För att komma fram till hur volymen påverkas av höjden och hur höjden därmed minskar med tiden?

le chat skrev:

Ska man inte derivera formeln v= πr^2h/2.  För att komma fram till hur volymen påverkas av höjden och hur höjden därmed minskar med tiden?

 Jo, det är ett sätt. Först måste du då få $r(h)$ så att $v$ endast är en funktion av $h$.

Därefter kan du tillämpa kedjeregeln:

$\frac{dv}{dt}=\frac{dv}{dh}·\frac{dh}{dt}$

• Om jag deriverar med hänsyn på h får jag formen πr^2/3, har jag deriverat rätt?

Nu har jag äntligen förstått och löst uppgiften men jag har problem med enheterna.

Eftersom man har angivit volymen i liter (d v s kubikdecimeter), höjden i dm och tiden i minuter så skulle jag behålla de enheterna och inte krångla med enhetsomvandlingar.

Smaragdalena skrev:

Eftersom man har angivit volymen i liter (d v s kubikdecimeter), höjden i dm och tiden i minuter så skulle jag behålla de enheterna och inte krångla med enhetsomvandlingar.

 Jag tyckte också det men på facit har de skrivit 3mm, då måste jag väl ha kommit fram till ett felaktigt svar?

Jag kan omöjligen tro att facit har givit svaret som en sträcka, när man frågade efter en hastighet. Eftersom du inte har angivit någon enhet i ditt svar, vet jag inte vad du menar. Du skrivar att V'(0,8) = 0,67... dm3/dm när det borde stå att V'(8)=___ dm3/min så jag vet inte hur du har tänkt. Antngen får du gå över helt till t ex SI-enheter, eller också räknar du helt med dm och minuter som det står i uppgiften. Alla mellanting är dömda att misslyckas.

Albiki skrev:

Hej!

Vattenkonen är likformig med behållar-konen, vars volym är $V$ och vars höjd är $H$. När vattenkonens höjd är $h$ så är dess volym $v(h)$ liter. Likformigheten ger förhållandet

    $\displaystyle\frac{v(h)}{V} = (\frac{h}{H})^{3}.$

Derivering med avseende på $h$ ger

    $\displaystyle\frac{dv(h)}{dh} = 3V \cdot \frac{h^2}{H^3} \quad\Leftrightarrow\quad \frac{dv(h)}{dh} =3\cdot\frac{v(h)}{h}.$

Kedjeregeln ger derivatan med avseende på tiden $t$ minuter.

    $\displaystyle\frac{dv(h(t))}{dt} = \frac{dv(h)}{dh} \cdot \frac{dh}{dt} = 3\cdot\frac{v(h)}{h} \cdot \frac{dh}{dt}.$

Du vet att vattenkonens volym minskar med hastigheten $2$ liter mer minut, det vill säga

    $\displaystyle\frac{dv(h(t))}{dt} = -2.$

Sambandet ovan låter dig beräkna derivatan $\frac{dh}{dt}$ när $h=8$ decimeter.

    $\displaystyle\frac{dh}{dt} = -\frac{2\cdot 8}{3v(8)}.$

Det återstår att beräkna vattenkonens volym $v(8)$.

 När $h=8$ så är den cirkulära vattenytans area lika med $\pi\cdot( 8 \tan 60^\circ)^2$ vilket ger vattenkonens volym

    ${\displaystyle v\left(8\right)=\frac{8^3\pi }{3}{\tan }^{2}60°.}$

Vattenytans höjd förändras därför med hastigheten

    ${\displaystyle -\frac{1}{32\pi {\tan }^{2}60°}}$ decimeter per minut,

det vill säga ungefär 0,0033 decimeter per minut, eller 0,3 millimeter per minut.

Albiki, hur kom du fram till dh/dt är 2*8 / 3v(8) ?aJg hänger inte riktigt med. Jag förstår att dv/dt är känt dvs att det är 2 liter/min, jag förstår att det som söks är dh/dt och att man kan beräkna det genom dv/dt ÷ dv/dh. 

Min lösningsmetod här var att jag skulle derivera formeln= πr^2h/3  men hänsyn på h. Då får jag formeln πr^2/3. Här hade jag tänkt att man skulle ta reda på radien med hjälp av vinkel och h. Då hade jag kommit fram till att radien var tan(30)*8. Detta hade dock givit mig ett alldeles för stort tal så svaret blev fel.

le chat skrev:

Albiki, hur kom du fram till dh/dt är 2*8 / 3v(8) ?aJg hänger inte riktigt med. Jag förstår att dv/dt är känt dvs att det är 2 liter/min, jag förstår att det som söks är dh/dt och att man kan beräkna det genom dv/dt ÷ dv/dh. 

Min lösningsmetod här var att jag skulle derivera formeln= πr^2h/3  men hänsyn på h. Då får jag formeln πr^2/3. Här hade jag tänkt att man skulle ta reda på radien med hjälp av vinkel och h. Då hade jag kommit fram till att radien var tan(30)*8. Detta hade dock givit mig ett alldeles för stort tal så svaret blev fel.

 Jag skulle lösa talet en gång till för att repetera stegen men då fastnade jag på hur jag skulle derivera , om jag deriverar formeln med hänsyn på h så kommer jag väl att ha uttrycket$v\text{'}=\frac{ \mathrm{\pi }{r}^2}{3}$   och då försvinner ju h som beskriver höjden på vattendjupet och hur kan jag i så fall beräkna radien?

Studera denn tråd noggrant så klarnar det nog!

https://gamla.pluggakuten.se/forumserver/viewtopic.php?id=108639