En bevisuppgift av Lemniskatan

Frågan är: "Visa att kurvan Lemniskatan beskrivs av ekvationen (x²+y²)²=2a²(x²-y²)."

Det finns en till text till uppgiften som lyder "Punkterna P₁ och P₂ på x-axeln är givna. Deras kordinater är (-a, 0) respektive (a, 0). En punkt P=(x, y) har egenskapen att produkten av astånden PP₁ och PP₂ är a². Orten för de punkter P som har egenskapen att produkten blir a²ligger på en kurva som kallas Lemniskatan.".
Den beskriver i princip bara lemniskatan som graf och ekvation.

Förstår egentligen inte hur jag ska gå till väga, tänkte att det kanske gick att lösa ut y och få en graf som följer Lemniskatan på något sätt men det blir helt fel. Jag kan skriva det försöket om det är intressant men tror knappast det.

Det jag behöver hjälp med är helt enkelt hela frågan, vad den vill och hur man gör.

Du får ta fram avstånden

P₁P och P₂P

Vad blir dessa?

Sedan har du en ekvation att lösa:

P₁P*P₂P = a²

Jag har testat få avstånden av PP₁ och PP₂ med avståndsformeln PP₁ = $\sqrt{(x - {(- a))}^{2} + {(y - 0)}^{2}} = \sqrt{x^{2} + 2 a x + a^{2} + y^{2}}$
och PP₂ = $\sqrt{x^{2} - 2 a x + a^{2} + y^{2}}$

När jag stoppar in det i PP₁ * PP₂ = a²så får jag inte riktigt något lösbart tror jag iaf om det inte är något jag missar.

Ekvationen jag får när jag förenklat är:

$\sqrt{x^{4} - 2 a^{2} x^{2} + 2 x^{2} y^{2} + a^{4} + 2 a^{2} y^{2} + y^{4}} = a^{2}$

Som jag förenklade till:

$x^{2} - \sqrt{2} a x + \sqrt{2} x y + a^{2} + \sqrt{2} a y + y^{2} = a^{2}$

Sean är jag lite fast, man kan ju stryka a² på båad sidor om man vill men ser inte hur man ska gå vidare sen om gör det. antar att man på något sätt ska få ram PQ-formel om det här ens är rätt metod att få fram PP₁ och PP₂. Vet inte om jag gjort något fel på vägen möjligtvis.

Du har förenklat kvadratrötterna fel.

$\sqrt{a+b}\neq \sqrt{a}+\sqrt{b}$

Kvadrera istället ekvationens led:

$(P_1P)^2\cdot (P_2P)^2= a^4$

Svara

Visa senaste svar