En andragradsfunktion har en maximipunkt i (4,8) och dess graf går dessutom genom punkten (2,0)
En andragradsfunktion har en maximipunkt i (4,8) och dess graf går dessutom genom punkten (2,0).
Bestämt funktionen och ange den på formen f(x)=ax^2+bx+c. Alegebraisk lösning krävs.
x vid symmetrilinjen=-(b/2 )-> 4=-(b/2) -> b=-8
Därefter lägger jag in b=-8 i två de två punkterna. Får då ut a=-2 efter att ha använt additionsmetoden.
Men sen när jag ska sätta i samman allt och räkna ut C får jag helt andra svar än facit. Någon som kan hjälpa?
Jag vet inte om jag tänker som du lärt dig.
1. Jag börjar med symmetrilinjen. Den ger en term (x–4)2
2. Men kurvan har ett maximum, vi måste byta tecken: –(x–4)2
3. Kurvan kan vara ”spetsig” eller flack: –P(x–4)2
4. Kurvan kan skjutas upp och ned: y = –P(x–4)2 + Q
5. Kurvan går genom (4, 8): 8 = –0 +Q
dvs Q = 8.
6. Kurvan går genom (2, 0): 0 = –4P + 8
dvs P = 2
7. Kurvans ekvation är y = –2(x–4)2 +8
Ur det kan du bestämma a, b, c.
Tack för att du svarade!
Så här säger facit, du har alltså rätt men är tyvärr inte alls med på hur du räknar. Hur får du fram (x-4)^2? 
Det är litet betingad reflex när man är van vid andragradare.
I skolan ritade vi några hundra kurvor y = x2
Vi plottade punkterna (1, 1), (2, 4), (3,9) innan vi valde negativa x-värden. Snart insåg vi att negativa x gav symmetri, (–1, 1), (–2, 4), (–3, 9)…
När vi sedan skulle rita t ex y = (x–4)2 fick vi samma värden förflyttade fyra steg: (2, 4), (3, 1), (4, 0), (5, 1), (6, 2) osv.
Om du har kurvan y = 5x7 –13x4 +2x3 (som jag inte vet hur den ser ut) och ersätter x med
(x–a):
y = 5(x–a)7 –13(x–a)4 +2(x–a)3
så är kurvan exakt likadan men förskjuten a steg åt höger. Byter du x mot (x+a) så förskjuts den a steg åt vänster. Funderar man en stund inser man att det måste vara så.
Därför visste jag direkt att en symmetrilinje x = 4 för en andragradare innehåller ett uttryck
(x–4)2. Jag har flyttat y = x2 fyra steg åt höger.
Tillägg: 28 nov 2023 02:07
Kommentar: Det finns ju en annan lösning som är enklare, eftersom vi har ett
nollställe x = 2. Symmetrin innebär att även x = 6 är ett nollställe. Därför kan jag skriva
y = D(x–2)(x–6) som ju också är noll för x = 2 och x = 6.
Maxpunkten ger
8 = D(4–2)(4–6)
8 = –4D dvs D = –2
och du får
y = –2(x–2)(x–6)
EndGD skrev:[...]
x vid symmetrilinjen=-(b/2 )-> 4=-(b/2) -> b=-8
[...]
Marilyns två lösningsförslag ät väldigt bra i och med att de inte kräver så många uträkningar.
Men även din ursprungsmetod fungerar utmärkt och det kan vara bra att kunna använda den ibland, t.ex. I de fall där vi inte känner till vare sig symmetrilinje eller nollställe.
Felet du gör är att du antar att symmetrilinjen är vid x = -b/2.
I själva verket är.den vid x = -b/(2a).
Detta eftersom ekvationen f(x) = 0 på "pq-form" är x2+(b/a)x+(c/a) = 0.
Du får.alltså ekvationerna
- 4 = -b/(2a)
- 0 = 4a+2b+c
- 8 = 16a+4b+c
