Elliptisk variabelbyte ved dubbelintegral

Hej, igen i facit står också att r ska vara mellan 0 och 1

och att teta ska vara mellan 0 och 2pi  

så jag undrar också på hur beräknar vi detta.

mvh

suad 

Är du med på att man kan parametrisera arean av en cirkelskiva med Radien $R$ med två parametrar $(r, \theta)$ så här?

$x=r\cos(\theta)$

$y=r\sin(\theta)$

Där $r\in[0,R]$ och $\theta\in[0,2\pi]$

Ja detta är jag med på 

Okej, en ellips i centrum parametriserar man på ungefär samma sätt, fast den här gången måste man förlänga axlarna.

$x=ar\cos(\theta)$

$y=br\sin(\theta)$

I din uppgift är  halvaxlarna för ellipsen $a=2$ och $b=4$. Alltså

$x=2r\cos(\theta)$

$y=4r\sin(\theta)$

Slutligen ska centrum ligga i $(1,0)$, alltså adderar vi 1 till x

$x=1+2r\cos(\theta)$

$y=4r\sin(\theta)$

$r\in[0,1]$, $\theta\in[0,2\pi]$

Tack så mycket, det var till stor hjälp, men gällende intervallet för r. Hur kommar jag till att den ska vara mellan 0 och 1. Altså hur beräknar jag radien av ellipsen. 

Om du redan har längden från centrum och ut i parametriseringen som här så är r egentligen inte radien längre. Jag ser det mer som en procent på hur långt ut i ellipsen man är, och då blir 0 till 1 rimligt. Om du blir osäker så är det alltid bra att testa stoppa in några enkla punkter.

hej, och tack för din svar, så  "r" är längden fra origo till centrum av ellipsen som är i punk: (1,0), och därmed ligg den mellan 0 och 1. 

mvh

suad 

R blir hur långt du kommit från centrum på ellipsen till kanten på den. Origo borde inte ha med saken att göra

En ellips med centrum i origo ser ut så här:

$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$

I ditt fall är $a=2$ och $b=4$,  det är $a$ och $b$ som bestämmer "radien" eller hur stor ellipsen är.

Parametern $r$ är INTE en radie, utan hjälper dig bara att täcka in hela området.

$x=2*r*\cos(\theta)$

$y=4*r*\sin(\theta)$

När $r$ går från $0$ till $1$ kommer $x$ gå från $0$ till $2$ och $y$ från $0$ till $4$.

Exempel punkten $\theta=\frac{\pi}{2}$ och $r=1$

$x=2\cdot 1\cdot \cos(\pi/2)=0$

$y=4\cdot 1\cdot \sin(\pi/2)=4$

hej, och tack for svaren, men jag henger inte med, altså hur kan jag beräkna intervallen för r

§

Hej, igen kan vi använde denna metod för att hitta intervallet för r

Jroth skrev:

Parametern $r$ är INTE en radie, utan hjälper dig bara att täcka in hela området.

$x=2*r*\cos(\theta)$

$y=4*r*\sin(\theta)$

När $r$ går från $0$ till $1$ kommer $x$ gå från $0$ till $2$ och $y$ från $0$ till $4$.

När jroth skriver att vi vill täcka in hela området så menar han samma sak som jag nyss skrev i tennistältsfrågan där hela D₁ skulle täckas in. I den här frågan ska x² beräknas för alla punkter inuti och på ellipsen. Variabeln r kan du kalla något annat det är ingen radie precis som jroth säger. Om du låter r anta alla värden mellan 0 och 1 så har du täckt in exakt hela området.

Tack så mycket, det som jag nämligen frågar om är att vilka uppgifter I frågen ger oss information om r och därmed hur vi kan beräkna intervallet för r från de uppgiftene. Eftersom det är inte alltid enkelt att Rita området för att kolla intervallet för r