Ellipsens ekvation

En ellips har ingen radie. Den har två axlar.

Laguna skrev:

En ellips har ingen radie. Den har två axlar.

Okej. Vad står 1an för i den formeln? Hur bestämmer man en radie? 

Varför vill du bestämma en radie när det inte finns någon?

Laguna skrev:

Varför vill du bestämma en radie när det inte finns någon?

Jag fattar att det ej finns någon. Men tänkte ifall man skulle få en sådan fråga i framtiden. Vad står 1an för i formeln för en ellips? 

Ekvationen för en cirkel med radien r kan skrivas

x²/r² + y²/r² = 1

Vad står ettan för där?

Laguna skrev:

Ekvationen för en cirkel med radien r kan skrivas

x²/r² + y²/r² = 1

Vad står ettan för där?

En konstant I guess? Så r1^2 och r2^2 är alltså cirkelns halvaxlar dvs deras radier typ?

Vad är r1 och r2 för något?

Ettan är praktisk i många ekvationer.

x/a + y/b = 1 betyder en rät linje som skär x-axeln i (a, 0) och y-axeln i (0, b). 

Sätt y = 0 så ser man att x = a, sätt x = 0 och, ja du fattar.

Bekväm om man har en rät linje med olika skala på axlarna och vill få fram ekvationen snabbt.

Ett plan skär x-axeln i (a, 0, 0), y-axeln i (0, b, 0) och z-axeln i (0, 0, c). Planets ekvation är 

x/a + y/b + z/c = 1.

x/a + y/b + z/c + w/d = 1 är ett hyperplan i fyra dimensioner som skär axlarna i, ja du fattar.

x²/a² + y²/b² + z²/c² = 1 är en ellipsoid, hur långa är axlarna?

Så förakta inte ettan, talet 1 är användbart i många sammanhang.

Mogens skrev:

Ettan är praktisk i många ekvationer.

x/a + y/b = 1 betyder en rät linje som skär x-axeln i (a, 0) och y-axeln i (0, b). 

Sätt y = 0 så ser man att x = a, sätt x = 0 och, ja du fattar.

Bekväm om man har en rät linje med olika skala på axlarna och vill få fram ekvationen snabbt.

 

Ett plan skär x-axeln i (a, 0, 0), y-axeln i (0, b, 0) och z-axeln i (0, 0, c). Planets ekvation är 

x/a + y/b + z/c = 1.

 

x/a + y/b + z/c + w/d = 1 är ett hyperplan i fyra dimensioner som skär axlarna i, ja du fattar.

x²/a² + y²/b² + z²/c² = 1 är en ellipsoid, hur långa är axlarna?

Så förakta inte ettan, talet 1 är användbart i många sammanhang.

Jag förstår ej riktigt vad ettan är till för något. Och hur långa axlarna är har jag ingen koll på för vi har ingen given uppgift justnu...

destiny99, jag förstår inte riktigt vad du undrar.

Om det står så här

y = 5x + 2

så finns det vissa punkter i planet vilkas koordinater stämmer med ekvationen och andra som inte gör det. Punkterna som stämmer bildar en rät linje.

Om det står

4x² + 9y² = 36       (1)

så bildar punkterna vilkas koordinater uppfyller ekvationen en ellips. 

Om vi delar bägge led i (1) med 36 och förkortar så får vi

x²/9 + y²/4  = 1       (2)

Den ekvationen uppfylls av exakt samma punkter som (1). Ekvationerna är identiska.

Vi kan skissa ellipsen. Om y = 0 så är x = ±3, om x = 0 så är y = ±2. Vi får en litet tillplattad cirkel, bredare än den är hög. Bredden är 6, höjden är 4. Vi säger att halva storaxeln är 3 och att halva lillaxeln är 2.

Samma ellips kan också skrivas

x = 3 cos v

y = 2 sin v

Om vi låter v gå från 0 till 360° så kommer vi att få alla (x, y) på ellipsen och inga andra.

Så jag vet inte vad jag ska svara på din fråga ”vad ettan är till för något” i (2). Tar du bort

”= 1” så står det bara ” x²/9 + y²/4 ” det säger ingenting. Och sätter jag något annat än 1 i högerledet så blir det en annan ellips (eller ingen figur alls).

Mogens skrev:

destiny99, jag förstår inte riktigt vad du undrar.

Om det står så här

y = 5x + 2

så finns det vissa punkter i planet vilkas koordinater stämmer med ekvationen och andra som inte gör det. Punkterna som stämmer bildar en rät linje.

Om det står

4x² + 9y² = 36       (1)

så bildar punkterna vilkas koordinater uppfyller ekvationen en ellips. 

Om vi delar bägge led i (1) med 36 och förkortar så får vi

x²/9 + y²/4  = 1       (2)

Den ekvationen uppfylls av exakt samma punkter som (1). Ekvationerna är identiska.

Vi kan skissa ellipsen. Om y = 0 så är x = ±3, om x = 0 så är y = ±2. Vi får en litet tillplattad cirkel, bredare än den är hög. Bredden är 6, höjden är 4. Vi säger att halva storaxeln är 3 och att halva lillaxeln är 2.

Samma ellips kan också skrivas

x = 3 cos v

y = 2 sin v

Om vi låter v gå från 0 till 360° så kommer vi att få alla (x, y) på ellipsen och inga andra.

 

Så jag vet inte vad jag ska svara på din fråga ”vad ettan är till för något” i (2). Tar du bort

”= 1” så står det bara ” x²/9 + y²/4 ” det säger ingenting. Och sätter jag något annat än 1 i högerledet så blir det en annan ellips (eller ingen figur alls).

Okej som jag förstår så är ettan definitionen av en ellips. Precis om det ej står lika med 1 så måste vi undersöka om det är en ellips eller annat.

Nej du kan inte formulera så. Ettan är INTE definitionen av en ellips.

Men ett sätt att skriva en ellips med halvaxlar a och b är

x²/a² + y²/b²  = 1

Ett annat är b²x² + a²y² = a²b², det är precis samma ellips.

Mogens skrev:

Nej du kan inte formulera så. Ettan är INTE definitionen av en ellips.

 

Men ett sätt att skriva en ellips med halvaxlar a och b är

x²/a² + y²/b²  = 1

Ett annat är b²x² + a²y² = a²b², det är precis samma ellips.

Okej jag förstår.  Kan det vara så att ettan kommer från trigonometriska ettan med härledning? Jag accepterar att formeln för ellips ser ut så,men jag förstår fortfarande ej var den där lika med ettan kommer ifrån :)

Nja, hmm.

Enhetscirkeln har ekvationen x² + y² = 1.

Det är ju Pythagoras sats. Men på sitt sätt också trigonometriska ettan när man säger att en punkt på enhcirkeln har koordinaterna (cos v, sin v). 

En punkt på en cirkel med radie R (medelp origo) har koord (Rcosv, Rsinv) som ger ekv

x²+y² = R²(cos²v+sin²v) 

          = R²

Delar vi båda led med R² får vi x²/R² + y²/R² = 1

Och om vi väldigt omatematiskt säger att ”radien i x-led” är a och att ”radien i y-led” är b så landar vi i x²/a² + y²/b² = 1.

Omatematiskt som sagt, men det kanske gör att ettan inte blir en utomgalaktisk mysticism.  

Mogens skrev:

Nja, hmm.

Enhetscirkeln har ekvationen x² + y² = 1.

Det är ju Pythagoras sats. Men på sitt sätt också trigonometriska ettan när man säger att en punkt på enhcirkeln har koordinaterna (cos v, sin v). 

En punkt på en cirkel med radie R (medelp origo) har koord (Rcosv, Rsinv) som ger ekv

x²+y² = R²(cos²v+sin²v) 

          = R²

Delar vi båda led med R² får vi x²/R² + y²/R² = 1

Och om vi väldigt omatematiskt säger att ”radien i x-led” är a och att ”radien i y-led” är b så landar vi i x²/a² + y²/b² = 1.

Omatematiskt som sagt, men det kanske gör att ettan inte blir en utomgalaktisk mysticism.  

Vet ej vad utomgalaktisk mysticism betyder... men jag förstår ditt resonemang när vi får fram lika med 1 

Jag var rädd att den mystiska ettan skulle jaga dig i nattens drömmar.