Ellips från helvete

Hej Daja,

För a=0 får du mycket riktigt en linje, y=-x och det går utmärkt att rotera koordinaterna 45° för att bli av med den elaka blandtermen -2xy. 

Men innan du gör det kan det vara smart att studera diskriminanten. För formen $Ax^2+2Bxy+Cy^2+2Dx+2Ey+F=0$ gäller att om

$AC-B^2>0 \Rightarrow \text{ellips eller cirkel (eller punkt)}$

$AC-B^2=0 \Rightarrow \text{parabel (eller dubbellinje eller parallella linjer)}$

$AC-B^2$

 I din ekvation blir $A=C=(2a^2-1)$ och $B=-1$, alltså studerar vi funktionen $d(a)=AC-B^2=(2a^2-1)^2-1$:

Nu vet vi vilka punkter och områden som är intressanta att studera för vårt koniska tvärsnitt (alla allmänna andragradskurvor är ett plan som skär en kon i någon vinkel). $a=0$ har du redan behandlat (det ger en dubbellinje), $a=\pm1$ (dvs $d(a)=0$) ger trivialt en parabel, när $d(a)<>$ (dvs $|a|<1, a\neq="">$) får vi en hyperbel (gulgrönt område) och när $d(a)>0$ (dvs $|a|>1$) får vi en ellips (rosafärgat område). Det är egentligen hela uppgiften, men det är ändå intressant att studera formen

Du får nästan rätt när du roterar 45 grader, det blir $\frac{4\sqrt2 ax'}{(2a^2-1)}$ på näst sista termen.

$(2a^2-1)(\xi^2+\eta^2)-(\xi^2-\eta^2)+4\sqrt2a\xi=5a^2$

$\displaystyle \left(\xi+\frac{a\sqrt2}{(a^2-1)}\right)^2-\frac{2a^2}{(a^2-1)}+\frac{a^2}{(a^2-1)}\eta^2=\frac{5a^2}{2(a^2-1)}$

$\displaystyle \left(\xi+\frac{a\sqrt2}{(a^2-1)}\right)^2+\frac{a^2}{(a^2-1)}\eta^2=\frac{a^2(5a^2-1)}{2(a^2-1)^2}$

$\displaystyle \frac{\left(\xi+\frac{a\sqrt2}{(a^2-1)}\right)^2}{\frac{a^2(5a^2-1)}{2(a^2-1)^2}}+\frac{\eta^2}{\frac{(5a^2-1)}{2(a^2-1)}}=1$

Edit: (Nu råkade jag använda $\xi$ och $\eta$ istället för $x'$ och $y'$ men jag orkar inte ändra överallt!)

Edit2: Som du ser i nämnaren ingår det en singulär punkt då $5a^2-1=0$, dvs i det hyperboliska området. Det visar sig att dessa punkter ger två korsande linjer, se diskriminanten ovan, men uppgiftens svarsalternativ verkar tyvärr inte låta dig urskilja just punkterna $a=\pm \sqrt{\frac{1}{5}}$, däremot anger de svepande ett helt intervall $-1<><>$ . Kanske har de missat att det ingår ett a som ger två korsande linjer i intervallet? Detsamma gäller intervallet $0<><>$.

Hej Guggle!

Förlåt för att jag inte hunnit sätta mig med ditt svar än, men det verkar mycket lovande!

Jag återkommer när jag har suttit och läst!!

Jag har försökt att faktorisera din uttryck nedan, det gick inte, antingen med zetas eller x' :/. Till exempel har du:

$\frac{5a^2}{2(a^2-1)}$. Hur har du isolerat ut tvåan?

$(2a^2-1)(\xi^2+\eta^2)-(\xi^2-\eta^2)+4\sqrt2a\xi=5a^2$

$\displaystyle \left(\xi+\frac{a\sqrt2}{(a^2-1)}\right)^2-\frac{2a^2}{(a^2-1)}+\frac{a^2}{(a^2-1)}\eta^2=\frac{5a^2}{2(a^2-1)}$

$\displaystyle \left(\xi+\frac{a\sqrt2}{(a^2-1)}\right)^2+\frac{a^2}{(a^2-1)}\eta^2=\frac{a^2(5a^2-1)}{2(a^2-1)^2}$

$\displaystyle \frac{\left(\xi+\frac{a\sqrt2}{(a^2-1)}\right)^2}{\frac{a^2(5a^2-1)}{2(a^2-1)^2}}+\frac{\eta^2}{\frac{(5a^2-1)}{2(a^2-1)}}=1$

Edit: (Nu råkade jag använda $\xi$ och $\eta$ istället för $x'$ och $y'$ men jag orkar inte ändra överallt!)

 Har också försökt jobba med diskriminanten även om jag är inte 100% med med logiken än.

Jag hittar två fall där jag har en ellips, $a>1$ och $a<>$, men nästa fråga blir:

Som det ser ut som i uppgiften det är tänkt att det är bara ett fall där vi har en ellips?

(PS: jag tror jag vet hur man beräknar stora armen och lilla armen $\frac{x^2}{a^2}+\frac{{\displaystyle y^2}}{{\displaystyle b^2}}=1$, där den minsta spelar den lilla arm, och den största spelar den stora arm, samt brännpunkter med formeln $a^2=b^2+c^2$. Brännpunkter har koordinater $(0;\pm c)$. Jag har inte gjort det eftersom vi har två ellipser... eller måste jag ta $\frac{a^2(5a^2-1)}{2(a^2-1{)}^2}$ och $\frac{(5a^2-1)}{2(a^2-1{)}^2}$ helt enkelt? )

EDIT: vet du va, vi glömmer den här till nästa år där ellipser återkommer. Jag känner att jag har tappat viljan att överleva.

dajamanté skrev:

Jag har försökt att faktorisera din uttryck nedan, det gick inte, antingen med zetas eller x' :/. Till exempel har du:

$\frac{5a^2}{2(a^2-1)}$. Hur har du isolerat ut tvåan?

$(2a^2-1)(\xi^2+\eta^2)-(\xi^2-\eta^2)+4\sqrt2a\xi=5a^2$

Först samlar vi ihop alla $\xi^2$ och $\eta^2$. Om det är svårt att se direkt kan du multiplicera ut parentesen:

$(2a^2-1)(\xi^2+\eta^2)-(\xi^2-\eta^2)=2a^2\xi^2+2a^2\eta^2-\xi^2-\eta^2-\xi^2+\eta^2=$

$=(2a^2-2)\xi^2+2a^2\eta^2=2(a^2-1)\xi^2+2a^2\eta^2$

Nu kan vi sätta in det i ekvationen och dela båda sidor med $2(a^2-1)$

$\xi^2+\frac{a^2 \eta^2}{(a^2-1)}+\frac{2\sqrt2 a}{a^2-1}\xi=\frac{5a^2}{2(a^2-1)}$

I nästa steg kvadratkompletterar vi:

$\left(\xi+\frac{\sqrt2 a}{a^2-1} \right )^2-\left(\frac{\sqrt2 a}{a^2-1} \right )^2+\frac{a^2 \eta^2}{(a^2-1)}=\frac{5a^2}{2(a^2-1)}$

Nu flyttar vi över den sista konstanttermen till höger sida och gör liknämnigt:

$\left(\xi+\frac{\sqrt2 a}{a^2-1} \right )^2+\frac{a^2 \eta^2}{(a^2-1)}=\frac{a^2(5a^2-1)}{2(a^2-1)^2}$

Slutligen delar vi båda led med högerledet för att få ellipsen på normalform

$\frac{\left(\xi+\frac{\sqrt2 a}{a^2-1} \right )^2}{\frac{a^2(5a^2-1)}{2(a^2-1)^2}}+\frac{\eta^2}{\frac{(5a^2-1)}{2(a^2-1)}}=1$

Det är lite krångliga räkningar så man måste vara noggrann :)

Jag hittar två fall där jag har en ellips

Alla $|a|>1$ ger ellipser, du har oändligt många fall. Varje a ger olika värden på halvaxlar och center.  Ellipsens center i ditt roterade koordinatsystem ges av

$\left( \xi_0, \eta_0\right) =\left(-\frac{\sqrt2 a}{a^2-1},0\right )$

Vill vi veta var ellipsens center ligger i xy-planet måste vi alltså transformera tillbaka koordinaterna:

$x=Tx'=\frac{1}{\sqrt 2}\begin{pmatrix}1 & -1\\ 1 &1 \end{pmatrix}\begin{pmatrix}-\frac{\sqrt2 a}{a^2-1}\\0\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}\frac{ -a}{a^2-1}\\\frac{-a}{a^2-1}\end{pmatrix}$

Exempel, låt a=2. Vi förväntar oss nu en ellips med center $(-\frac{2}{3},-\frac{2}{3})$.

Stämmer det? Vi låter Wolfram räkna och rita åt oss här.

Gå ned till "Geometric Figure: elllipse", klicka på "Properties", studera "center". Det står $(-0.66667, -0.66667)$. Puh, det blev rätt!

Du kan också kontrollera att vi beräknat halvaxlarna korrekt. Den stora armen, eller storaxeln A blir (som du misstänkte)

$A^2=\frac{a^2(5a^2-1)}{2(a^2-1)^2}=\frac{2^2(5\cdot2^2-1)}{2(2^2-1)^2}=\frac{76}{18}=\frac{38}{9}$

$A=\sqrt{\frac{38}{9}}\approx 2.0548$

$B^2=\frac{(5a^2-1)}{2(a^2-1)}=\frac{(5\cdot2^2-1)}{2(2^2-1)}=\frac{19}{6}$

$B=\sqrt{\frac{19}{6}}\approx1.7795$

Vi jämför med Wolfram

Puh! Det blev också rätt! Wolfram kan sova lugnt.

EDIT: vet du va, vi glömmer den här till nästa år där ellipser återkommer. Jag känner att jag har tappat viljan att överleva.

Nej Daja, man ska inte ge upp!

Jag förstår att den här uppgiften är jobbig, särskilt om man inte har ordning på ellipser och sånt. Dessutom borde man använda egenvärdesanalys och den fullständiga diskriminanten för att analysera degenererade tillstånd hos formen, något ni inte lärt er ännu. Men du kommer väldigt långt genom att bara sätta in olika värden på a, ändra "where a=blabla" i wolfram-länken och studera vilka kurvor du får.

Här är t.ex. när $a=\sqrt{\frac{1}{5}}$

Testa något annat värde på a, t.ex. a=0, du ska då få en (dubbel)linje, eller a=0.5, du ska då få en hyperbel osv.

Tack, nu som du har analyserat uppgiften så noggrant MÅSTE jag analysera det. Ingen måste dö för jäves på slagfältet liksom...