Elfält och potential

Hej.

Behöver litet hjälp med denna uppgift.

Fyra punktladdningar, vardera med laddningen q, är arrangerade i hörnen på en regelbunden tetraeder med de kartesiska koordinaterna:

$r_{1} = a \cdot (5, 0, - \frac{1}{\sqrt{2}}) r_{2} = a \cdot (3, 0, - \frac{1}{\sqrt{2}}) r_{3} = a \cdot (4, 1, \frac{1}{\sqrt{2}}) r_{4} = a \cdot (4, - 1, \frac{1}{\sqrt{2}})$

Beräkna potentialen och det elektriska fältet i punkten $p = a \cdot (4, 5, \frac{5}{\sqrt{2}})$ .

Jag antar att alla dessa är ortsvektorer och kan skrivas om till

$r_{1} = (5 a) \hat{i} - (\frac{1}{\sqrt{2}} a) \hat{k}$ o.s.v.

Den elektriska potentialen i punkten P ges av

$V = k \sum_{i = 1}^{4} \frac{q_{i}}{d_{i}}$

Vi känner till allt förutom avstånden från de enskilda punktladdningarna och punkten p. Jag beräknade de vektorer som beskriver avståndet mellan laddningarna och punkten p, och beräknade därefter dessa vektorers skalära värde, vilket ger avstånden.

$d_{1} = p - r_{1} = a \cdot (- 1, - 5, - \frac{6}{\sqrt{2}}) d_{2} = a \cdot (1, 5, \frac{6}{\sqrt{2}}) d_{3} = a \cdot (0, 4, \frac{4}{\sqrt{2}}) d_{4} = a \cdot (0, 6, \frac{4}{\sqrt{2}})$

Dessa vektorers skalära värden, blir då

$|d_{1}| = \sqrt{(- a)^{2} + (- 5 a)^{2} + (- \frac{6}{\sqrt{2}} a)^{2}} = \sqrt{44 a^{2}} = 2 \sqrt{11} a |d_{2}| = 2 \sqrt{11} a |d_{3}| = 2 \sqrt{6} a |d_{4}| = 2 \sqrt{11} a$

Så potentialen blir

$V = k q (\frac{1}{d_{1}} + \frac{1}{d_{2}} + \frac{1}{d_{3}} + \frac{1}{d_{4}}) = \frac{k q}{a} (\frac{3}{2 \sqrt{11}} + \frac{1}{2 \sqrt{6}})$

Stämmer detta?

Slutligen måste jag beräkna elfältet (jag måste posta så här enskilt eftersom antalet tillåtna tecken tydligen är mycket begränsat).

${\overset{⇀}{E}}_{t o t a l} = \overset{⇀}{E_{1}} + \overset{⇀}{E_{2}} + \overset{⇀}{E_{3}} + \overset{⇀}{E_{4}} = k q (\frac{d_{1}}{{|d_{1}|}^{3}} + \frac{d_{2}}{{|d_{2}|}^{3}} + \frac{d_{3}}{{|d_{3}|}^{3}} + \frac{d_{4}}{{|d_{4}|}^{3}})$

När jag räknade ut detta fick jag

${\overset{⇀}{E}}_{t o t a l} = \frac{k q}{a^{2}} (0, \frac{1}{12 \sqrt{6}} + \frac{3}{44 \sqrt{11}}, \frac{1}{24 \sqrt{3}} + \frac{1}{22 \sqrt{22}})$

Är detta rätt? Mina beräkningar känns något "klumpiga". Finns det bättre och lättare sätt att räkna ut detta?

Mycket tacksam för hjälp!

Allt ser i alla fall rätt ut.

Svara

Visa senaste svar