Elementära matriser och LU-metoden

Elementära matriserna är faktorer till A va? Men vad ska man använda för strategi för att få fram de?

En triangulär matris är en kvadratisk matris som har endast nollor på ena sidan om diagonalen. Om matrisen bara har nollor över diagonalen kallar vi den nedåt, annars uppåt

Målet är att kunna skriva $A=LU$ där L är en nedåt triangulär matris (och U uppåt).

Elementära matriser är egentligen bara vanlig gausselimination, fast lite mer systematiskt.

Låt varje elementär matris $M_l$ vara nedåt triangulär med 1:or på diagonalen. Vill man vara formell kan man skriva

$M_k=I-me_k^T$

Där $e_k$ är identitetsmatrisens k:e kolonn och där m är en vektor som innehåller hur många av rad k man ska lägga till raderna under för att eliminera pivotelementet.

Det låter krångligare än det är.

Försök skapa din första elementära matris $M_1$, den ska eliminera pivotelementen i rad 2 och rad  (dvs m ska vara -1/2 och 3)

Skulle det vara M1 då?

Två saker.

Eftersom vi ska göra en LU faktorisering kan det vara smart att inte kalla $M_1$ för L, eftersom vi gärna bör kalla $L_1=M_1^{-1}$. Det kan också hända att du menar något annat?

2. Om L ska vara $M_1$  förstår jag inte hur du fått -2/3 på plats (3,2). Kanske har du redan fortsatt till steg två?

Jag fick iaf

$M_1=\begin{bmatrix}1&0&0\\-\frac{1}{2} &1 &0\\ 3 & 0 & 1\end{bmatrix}$

Blir det såhär? Ledsen om jag är dålig på att förstå

Jag hoppas att du använder något mjukvarustöd, t.ex. Mathematica eller Matlab, det underlättar när du ska kontrollera dina räkningar.

Om man beräknar $M_3M_2M_1A$ ska man få en matris på trappstegsform precis som vid "vanlig" gausseliminering.

Om jag slår in ditt förslag blir det inte en trappstegsmatris kvar.

Om jag däremot byter ut din $M_3$ mot

$M_3=\begin{bmatrix}1&0&0\\0&1&0\\0&2&1\end{bmatrix}$

Blir det en trappstegsmatris.

Nu är $L=L_1L_2L_3=M_1^{-1}M_2^{-1}M_3^{-1}$

$U=M_3M_2M_1A$

Och du kan (ska) kontrollera att $A=LU$

Edit: Det kan också vara värt att känna till att man normalt sett "rensar" en hel kolonn i taget, i det här fallet skulle man alltså bara göra två elementärmatriser (vilket jag visade i början)

$LU=\begin{bmatrix}1&0&0\\\frac{1}{2}&1&0\\ -3&-2&1\end{bmatrix}\begin{bmatrix}2&-4&2\\0&7&-5\\ 0&0&0\end{bmatrix}$

Nu har jag tagit reda på de rätta L och U men jag förstår fortfarande inte hur jag ska ta reda på M:en

Jag förstår inte din fråga.

Du har ju redan räknat ut $M_1$, $M_2$ och jag gav dig $M_3$?

Varje operation M ska alltså eliminera något element genom en elementär radoperation (exakt som vid gausseliminering).

Du kan följa din eliminering stegvis genom att testa

$M_1.A//MatrixForm$

$M_2.M_1.A//MatrixForm$

$M_3.M_2.M_1.A//MatrixForm$

När du genomfört alla tre kommer du se att du har trappstegsmatrisen $U$ kvar.

Tack snälla snälla för ditt tålamod! Jag förstår nu! Tack för all hjälp! :)