Elementära funktioner, finn vinklar v

Verkar klokt att skriva om VL på formen:

$A\sin (v+\alpha )$

1. Är det någon parentes i vänsterledet, eller är det minus sju halva gånger roten ur tre gånger sin(v)? Oavsett, börja med att dividera med 7/2, och skriv om VL till en enda sinusfunktion.

Så dividerat med $\frac{7}{2}$ blir det alltså istället:

$-\sqrt{3}\sin \left(v\right)+\cos \left(v\right)=1$

Vad menar ni med $A\sin (v+\alpha )$. Hur skriver jag om VL till en enda sinusfunktion..?

$a\sin x+b\cos x=\sqrt{a^2+b^2}·\sin (x+v)$ där $v=\tan \left(\frac{b}{a}\right), 0<v<\frac{\mathrm{\pi }}{2}$.

$-\sqrt{3}\sin x+1\cos x = \sqrt{(-\sqrt{3}{)}^2+1^2}*\sin (x+\tan (\frac{-\sqrt{3}}{1}\left)\right)$

Är detta rätt??

Nej. Börja med att beräkna vinkeln $\beta$.

Är inte vinkeln $\beta$ = $\tan \left(\frac{-\sqrt{3}}{1}\right)$ ?

Nej, tan(vadsomhelst) är ett tal, inte en vinkel. Om du vet tangens-värdet och vill veta vinkeln, behöver du använda dig av arc tan-funktionen.

Du vet att $\tan \beta = \frac{1}{\sqrt3}$, du verkar ha rört ihop det. Man kan inte beräkna tangens för ett tal, det måste vara en vinkel  man stoppar in.

Jaaa! Nu är jag med. Jag läste fel! Så $\tan \beta =\frac{1}{-\sqrt{3}}$ eller varför blir $\sqrt{3}$positiv?

Ture skrev:

 Du behöver modifiera formeln lite, eftersom du har ett negativt värde på a.

Smaragdalena skrev:

Ture skrev:

 Du behöver modifiera formeln lite, eftersom du har ett negativt värde på a.

 Ja, eller så multiplicerar man bara VL och HL med $-1$ och använder den nedre formeln ovan.

Alltså att det blir: 

$\sqrt{3}\sin \left(v\right)-\cos \left(v\right)=-1$

och därmed kan jag använda formeln: $a\sin \left(\alpha \right) - b\cos \left(\alpha \right) = \sqrt{(a^2+b^2)}*\sin (\alpha -\beta )$ ?

Men stämmer det att $\tan \beta =\frac{1}{\sqrt{3}}$ och därmed: $\beta = {\tan }^{-1}\left(\frac{1}{\sqrt{3}}\right)$ ? =) 

Tack för all hjälp!

Hej!

1. Dividera ekvationen med talet $7/2$.

        $\displaystyle -\sqrt{3}\sin v + 7\cos v = 1.$

2. Använd additionsformel för sinusfunktionen för att skriva vänsterledet som ett enda sinus-uttryck.

        $\displaystyle A\sin (v+u) = A\sin v \cos u + A\cos v \sin u.$

Jämför detta med uttrycket $-\sqrt{3}\sin v + 7\cos v$ för att se att

        $A\cos u = -\sqrt{3}$ och att $A\sin u = 7.$

3. Använd definitionen av tangensfunktionen för att få fram vinkeln (fasförskjutningen) $u.$

        $\displaystyle\frac{7}{-\sqrt{3}}=\frac{A\sin u}{A\cos u} = \tan u \quad\Rightarrow\quad u = \arctan \frac{7}{-\sqrt{3}} \approx -76^\circ.$

4. Använd Trigonometriska ettan (Pythagoras sats) för att få fram amplituden $A$.

        $\displaystyle 3+7^2 = A^2\sin u + A^2\cos^2 u = A^2(\sin^2 u + \cos^2 u) = A^2 \quad\Rightarrow\quad A = \sqrt{52} = 2\sqrt{13}.$

5. Nu när du känner amplituden och fasförskjutningen så kan du gå tillbaka till ursprungsekvationen. Det gäller att finna den eller de vinklar ($v$) som är sådana att

        $\displaystyle A\sin(v+u) = 1\quad\Leftrightarrow\quad \sin(v+u) = \frac{1}{A}.$

6. Sinusvärdet $1/A=1/(2\sqrt{13})$ är ett positivt tal, så vinkeln $v+u$ ligger i första kvadranten eller i andra kvadranten.

Wow supertack!! Detta är väldigt nytt för mig därav att det tar tid. Skall ju hitta alla vinklar v mellan $-\mathrm{\pi }$ och $\mathrm{\pi }$. Hur vet jag vilka som ligger däremellan? Eller är det endast en vinkel? 

Blir det alltså: $\sin (v+\left(-76°\right))=\frac{1}{2\sqrt{13}}$ ? Eller tänker jag helt fel här?

Albiki skrev:

Hej!

1. Dividera ekvationen med talet $7/2$.

        $\displaystyle -\sqrt{3}\sin v + 7\cos v = 1.$

2. Använd additionsformel för sinusfunktionen för att skriva vänsterledet som ett enda sinus-uttryck.

        $\displaystyle A\sin (v+u) = A\sin v \cos u + A\cos v \sin u.$

Jämför detta med uttrycket $-\sqrt{3}\sin v + 7\cos v$ för att se att

        $A\cos u = -\sqrt{3}$ och att $A\sin u = 7.$

3. Använd definitionen av tangensfunktionen för att få fram vinkeln (fasförskjutningen) $u.$

        $\displaystyle\frac{7}{-\sqrt{3}}=\frac{A\sin u}{A\cos u} = \tan u \quad\Rightarrow\quad u = \arctan \frac{7}{-\sqrt{3}} \approx -76^\circ.$

4. Använd Trigonometriska ettan (Pythagoras sats) för att få fram amplituden $A$.

        $\displaystyle 3+7^2 = A^2\sin u + A^2\cos^2 u = A^2(\sin^2 u + \cos^2 u) = A^2 \quad\Rightarrow\quad A = \sqrt{52} = 2\sqrt{13}.$

5. Nu när du känner amplituden och fasförskjutningen så kan du gå tillbaka till ursprungsekvationen. Det gäller att finna den eller de vinklar ($v$) som är sådana att

        $\displaystyle A\sin(v+u) = 1\quad\Leftrightarrow\quad \sin(v+u) = \frac{1}{A}.$

6. Sinusvärdet $1/A=1/(2\sqrt{13})$ är ett positivt tal, så vinkeln $v+u$ ligger i första kvadranten eller i andra kvadranten.

 Albiki har räknat fel på andra raden, det ska inte vara någon 7a framför andra termen. Därmed blir resten också fel.

Albikis metod är däremot helt rätt. (Man kan också använda någon av de formler vi andra hänvisat till.

$$\begin{gathered} \frac{-7}{2}\sqrt{3}\sin \left(v\right)+\frac{7}{2}\cos \left(v\right)=\frac{7}{2} dividerar med \frac{7}{2} \\ -\sqrt{3}\sin \left(v\right)+\cos \left(v\right)=1 förenklar med -1 \\ \sqrt{3}\sin \left(v\right)-\cos \left(v\right)=-1 \\ A\sin (v-u)=A\sin v\cos u-A\cos v\sin u \\ A\cos u=\sqrt{3} \\ A\sin u=-1 \\ \frac{-1}{\sqrt{3}}=\frac{A\sin u}{A\cos u}=\tan u \to u=arc\tan \frac{-1}{\sqrt{3}}=-30° \\ (-1{)}^2+(\sqrt{3}{)}^2=A^2\sin u+A^2\cos u=A^2({\sin }^{2}u+{\cos }^{2}u) \\ {A}^2=(-1{)}^2+3 \\ A =\sqrt{4}=2 \\ A\sin (v-u)=-1 \\ \sin (v-u)=\frac{-1}{A}=\frac{-1}{2} \\ \sin (w)=\frac{-1}{2} \\ w=arc\sin (\frac{-1}{2})=-30° \\ v-u=w \\ v=w-u=-30-(-30)=-60°\approx 1rad \end{gathered}$$

Stämmer detta? 1 rad = $\frac{-\mathrm{\pi }}{3}$ ?

Hur får jag fram fler vinklar?? 

Ditt intervall är mellan $\pi$ och $-\pi$. Det innebär att du skall räkna med radianer, inte med grader. Du skall ge exakta svar, inte närmevärden.

men $\frac{-\mathrm{\pi }}{3}$ (rad) är ju lika med $-60°$ ?

Om du läser matematik på universitet, skall du radianer.

Ekvarionen $\sin \left(v\right) = -\frac{1}{2}$ har lösningarna $v=-\frac{\pi }{3}+2\pi ·n$ eller $v=-\frac{2·\pi }{3}+2\pi ·n$. Vilka av dessa lösningar ligger i det önskade intervallet?

Du behöver repetera de avsnitt i Ma4 som jag länkade till i din andra tråd, du gör samma fel här som där.

Okej tack!! Skall kladda vidare på pappret! 

Alternativt (och vanligast) väljer man:

$v_1=\arcsin (-\frac{1}{2})$

$v_2=\pi -v_1=...$