Elementära funktioner differentierbara

I ett exempel i Persson och Böiers (analys i flera variablar) står det följande (s.58), jag skriver inte ut allting och lämnar istället ut vissa delar inom hakparanteser som förklarar vad som ska stå där:

"Funktionen $f (x, y, z) = x y z + \ln (x y^{3} z^{3}), x, y, z > 0$

är differentierbar eftersom de partiella derivatorna

[partiella derivator till f(x,y,z)]

är kontinuerliga. I praktiken behöver man ofta inte ens beräkna de partiella derivatorna, nämligen om man i förväg kan genomskåda att de är uppbyggda av elementära funktioner. Kontinuiteten är ju då garanterad. I Föreligga exempel kunde vi nöjt oss med ett sådant konstaterande."

Jag har fetat den delen som känns lite förvirrande för mig, jag tror att dom menar att alla elementära funktioner (sammansättningar, produkter och summor) är deriverbara och att när man deriverar dem så får man nya elementära funktioner och elementära funktioner enligt envariabelsanalysen är kontinuerliga, och från det kan man dra slutsatsen att funktionen är av C1 och därmed differentierbar, är detta korrekt?

Säg att jag gör ovan resonemang för någon sammansättning/produkt/summa av elementära funktioner, jag vet att funktionen är definierad över någon mängd, kommer funktionen då vara av C1 över hela den här mängden med ovan resonemang? Behöver jag inte undersöka det? Kan det t.ex uppstå en punkt i mängden som blir odefinierad efter att jag har partiellt deriverat funktionen?

Just det här med elementära funktioner av C1 känns ofullständigt för mig, men det är en slutsats boken gör ganska ofta. Om ni har något man kan läsa om det här eller nära relaterat så uppskattas det.

All hjälp uppskattas, hoppas att min fråga är någorlunda tydligt, annars säg till så förtydligar jag.

Har du läst vad det står i svenska Wikipedia? Speciellt tycker jag att det här avsnittet är intressant för din fråga:

Elementära funktioner är relativt enkla att analysera och beräkna. Exempelvis är derivatan av en elementär funktion alltid en elementär funktion, men omvändningen gäller inte: den primitiva funktionen till en elementär funktion är inte nödvändigtvis elementär.

Om det alltså räcker ATT man vet att en funktion är deriverbar, men inte behöver veta hur derivatan ser ut, så kan man ta den här genvägen.

HaCurry skrev:
Säg att jag gör ovan resonemang för någon sammansättning/produkt/summa av elementära funktioner, jag vet att funktionen är definierad över någon mängd, kommer funktionen då vara av C1 över hela den här mängden med ovan resonemang?

Nej, elementära funktioner är inte nödvändigtvis deriverbara ö.h.t. Ta exempelvis funktionen $f(x) = \sqrt{x}$ som är elementär men inte deriverbar i origo. Däremot är elementära funktioner kontinuerliga överallt där de är definierade och det är det som är det väsentliga här. Enligt en sats i analysen så är en funktion (av flera variabler) deriverbar i en punkt om alla partiella derivator är kontinuerliga i ett område kring punkten. Om du omedelbart kan se att alla partiella derivator kommer vara elementära funktioner så vet du därmed att dessa kommer vara kontinuerliga vilket då medför deriverbarhet hos den ursprungliga funktionen.

Här är en förklaring på vad en elementär funktion är: https://en.wikipedia.org/wiki/Elementary_function#Basic_examples

Freewheeling skrev:
HaCurry skrev:
Säg att jag gör ovan resonemang för någon sammansättning/produkt/summa av elementära funktioner, jag vet att funktionen är definierad över någon mängd, kommer funktionen då vara av C1 över hela den här mängden med ovan resonemang?
Nej, elementära funktioner är inte nödvändigtvis deriverbara ö.h.t. Ta exempelvis funktionen $f(x) = \sqrt{x}$ som är elementär men inte deriverbar i origo. Däremot är elementära funktioner kontinuerliga överallt där de är definierade och det är det som är det väsentliga här. Enligt en sats i analysen så är en funktion (av flera variabler) deriverbar i en punkt om alla partiella derivator är kontinuerliga i ett område kring punkten. Om du omedelbart kan se att alla partiella derivator kommer vara elementära funktioner så vet du därmed att dessa kommer vara kontinuerliga vilket då medför deriverbarhet hos den ursprungliga funktionen.
Här är en förklaring på vad en elementär funktion är: https://en.wikipedia.org/wiki/Elementary_function#Basic_examples

Jag köper ditt resonemang, men jag köper också Smaragalenas resonemang, men krockar inte era resonemang? så som jag förstår det säger hon att elementära funktioner är deriverbara medans du säger att det inte är så över huvud taget. Jag tror att sqrt(x) är deriverbar men för en viss mängd i R.

Funktionen $\sqrt{x}$ är deriverbar på $]0,\infty[$ men inte på $[0,\infty[$ , men det är lite av ett stickspår här.

Jag tycker att det verkar som att du blandar ihop följande

1. kontinuerlig

2. deriverbar

3. kontinuerligt deriverbar

Kontinuerligt deriverbar innebär två saker; 1) de partiella derivatorna existerar och är 2) kontinuerliga.

Varje funktion $f$ som har kontinuerliga partiella derivator i en öppen mängd $D$ där $D\subseteq\mathbb{R}^n$ sägs vara av klass $\mathrm{C}^1$ .

Om $f$ är $\mathrm{C}^1(D)$ är $f$ differentierbar.

Jag ser inte att Smaragdalena säger att en elementär funktion nödvändigtvis är deriverbar.

$x \mapsto \sqrt{x}$ är deriverbar i alla punkter $x \neq 0$ där den är definierad men inte deriverbar i punken $x=0$ . Så om du t.ex. begränsar dig till ett intervall som inte innehåller punkten $x=0$ så vet du att funktionen är $C^1$ på mängden men funktionen är t.ex. inte $C^1$ på $[0, \infty)$ .

Freewheeling skrev:
Jag ser inte att Smaragdalena säger att en elementär funktion nödvändigtvis är deriverbar.
$x \mapsto \sqrt{x}$ är deriverbar i alla punkter $x \neq 0$ där den är definierad men inte deriverbar i punken $x=0$ . Så om du t.ex. begränsar dig till ett intervall som inte innehåller punkten $x=0$ så vet du att funktionen är $C^1$ på mängden men funktionen är t.ex. inte $C^1$ på $[0, \infty)$ .

Jag ser det nu, måste ha läst av fel, okej tack!

Svara

Visa senaste svar