Elementär fråga om kombinationer
Jag har funderat på en väldigt elementär grej inom kombinatoriken på senaste och vill bekräfta att jag tänker korrekt. Som utgångspunkt vill jag använda två uppgifter:
(i) På hur många sätt kan man skapa två grupper om 5 personer av 10?
(ii) På hur många sätt kan man skapa två grupper, en om 6 och en om 4, av 10 personer?
På (i) blir det ju såklart C(10, 5)*C(5, 5)/2!, eftersom vi väljer lika stora grupper och ur samma mängd. På (ii) måste vi inte dela bort någonting, för grupperna har inte samma storlek.
Men säg att uppgiften ändras lite grand, och blir: "Det finns två urnor. En innehåller 10 blå kulor (alla helt olika) och den andra innehåller 10 röda kulor (alla helt olika). På hur många sätt kan man skapa två grupper om 5, om man för den första gruppen plockar fem ur den första urnan och för den andra gruppen plockar fem ur den andra urnan?"
Här tänker jag att svaret blir C(10, 5)*C(10, 5), men trots att storleken är likadan på båda grupperna måste man inte dela på 2! eftersom man plockar ur två helt skilda mängder. Stämmer detta resonamng?
I första fallet tycker vi att resultatet är lika om vi byter ut alla personer mellan grupperna (eller byter namn på grupperna) och det leder till division med två men i fallet med kulorna är konstruerat för att inte tillåta det bytet.
Ja, men i andra fallet kan ju alla personer byta plats med varandra också, men där delar vi inte med 2 eftersom grupperna har olika storlek, visst är det så? På grund av skillnaden i storlek kan man alltså inte få med samma gruppuppsättning flera två gånger i beräkningen.
