Elementär algebra, relationer

Vilka är kriterierna relationen måste uppfylla för att det ska vara en partiell ordning. Kolla upp dem och verifiera att de stämmer för R.

Fibonacci skrev :

Hej, 

Uppgiften lyder som följande:

" Låt A = {1, 3, 7} och R = {(1,1), (3,3), (7,7), (7,1), (7,3)}. Visa att R är en partiell ordning på A."

Det enda jag tänka mig är att $R\subseteq A\times A$. Eller?

En partialordning R är en relation som uppfyller följande tre egenskaper.

1. aRa  reflexivitet
2. om aRb och bRa då är a=b (anti-symmetri)
3. om aRb och bRc då gäller aRc (transitivitet). 

Du behöver alltså undersöka om dessa 3 egenskaper är uppfyllda för din relation. 

En definition säger att "R är en partiell ordning om R är reflexiv, transitiv och anti-symmetrisk".

Dessutom är ju R reflexiv om det för alla a i A gäller att aRa. R är antisymmetrisk om för alla a och b i A gäller att aRb och bRa$\Rightarrow$a = b. R är transitiv om för alla a, b och c i A gäller att aRb och bRc $\Rightarrow$aRc. 

Hur ser man/testar man de olika egenskaperna? 

Fibonacci skrev :

En definition säger att "R är en partiell ordning om R är reflexiv, transitiv och anti-symmetrisk".

Dessutom är ju R reflexiv om det för alla a i A gäller att aRa. R är antisymmetrisk om för alla a och b i A gäller att aRb $\Rightarrow$ bRa. R är transitiv om för alla a, b och c i A gäller att aRb och bRc $\Rightarrow$aRc. 

Hur ser man/testar man de olika egenskaperna? 

Din definitionsmängd är { 1,3,7}, för att kolla om den är reflexiv. Finns paren {1,1},{3,3} och {7,7} med i din relation? Om svaret är ja, så har du bevisat att aRa för alla a i definitionsmängden, och därmed att relationen är reflex.

Fibonacci skrev :

En definition säger att "R är en partiell ordning om R är reflexiv, transitiv och anti-symmetrisk".

Dessutom är ju R reflexiv om det för alla a i A gäller att aRa. R är antisymmetrisk om för alla a och b i A gäller att aRb $\Rightarrow$ bRa. R är transitiv om för alla a, b och c i A gäller att aRb och bRc $\Rightarrow$aRc. 

Hur ser man/testar man de olika egenskaperna? 

Du har inte fått definitionen på antisymmetrisk korrekt, det du har där är definitionen för symmetrisk. Kolla istället vad pethaf skrev angående antisymmetrin.

(Edit: fixade antisymmetrin så det stämmer)

Okej, då verkar den vara reflexiv i alla fall. Hur testar jag de andra två egenskaperna? 

Du går igenom på samma sätt som för reflexiviteten.

För alla element a och b som det gäller att aRb och bRa för gäller det då att a = b? Om svaret är ja så är den antisymmetrisk.

Sedan går du igenom på samma sätt för tansitiviteten.

Okej, så som jag har förstått det så är en relation antisymmetrisk om två element a och b, bara är relaterade på ett sätt. Därför borde relationen vara antisymmetrisk då t ex (1,7), inte förekommer. Dock har jag svårt att greppa det här med transitivitet. 

För transitiviteten så behöver du bara kolla att om aRb och bRc så gäller även aRc. Det är ju återigen bara att gå igenom dem och se att det stämmer. Om det inte stämmer så bör du kunna finna tre tal a, b och c sådana att aRb och bRc men det gäller inte att aRc.