Elementär algebra, Fermats lilla sats

"Visa att $a^{5} - a$ är delbart med 5 för varje heltal a."

Såhär har jag gått tillväga:

$a^{5} \equiv a (m o d 5) a \equiv 0 (m o d 5), \dots, a \equiv 4 (m o d 5)$

$a \equiv 2 (m o d 5) \Rightarrow a \equiv 2^{5} (m o d 5) 2^{5} \equiv \dots$

Det är alltså sista steget jag behöver hjälp med. Duger det här?

$2^{5} \equiv 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \equiv 3 \cdot 2 \cdot 2 \equiv 1 \cdot 2 \equiv 2 (m o d 5)$

Tyvärr så förstår jag ingenting av din lösning. Men sättet du beräknar $2^5$ mod 5 är korrekt.

Om du känner till Fermats lilla sats så vet du ju att $a^5 \equiv a\text{ (mod }5)$ för alla heltal $a$ , detta innebär alltså att

$a^5 - a \equiv a - a \equiv 0\text{ (mod }5)$

Ah, då kör jag på det, verkar duga som svar. Ser att det blivit ett litet fel på rad tre, det ska vara: $\Rightarrow a^{5} = 2^{5}$

På rad två konstaterar jag restklasserna. Förhoppningsvis blev det begripligare.

Okej, ja då blev det nog lite tydligare. Man skulle kunna lösa det genom att gå igenom alla restklasser.

Ja, precis. Jag var lite otydlig där, tog $a \equiv 2$ som exempel bara.

En variant kan vara faktorisering. a^5-a=a(a^4-1)=a^(a^2+1)(a^2-1)=a*((a+2)(a-2)+5)(a-1)(a+1).

Uppenbart så är en av talen a-2,a-1,a,a+1,a+2 delbart med 5.

Svara

Visa senaste svar