Elementär algebra, division och restklasser

Vet du hur man tar reda på vilken rest ${17}^{13}$ har när det divideras med 6? Gör i så fall det. Gör sedan likadant för ${13}^{11}$ dividerat med 6.

Använd sedan att resten för a + b är lika med summan av resten för a och resten för b.

Hej!

Det gäller att 17 = 6n - 1 och 13 = 6m + 1 vilket medför att $17^{13} = 6p - 1$ och $13^{11} = 6q + 1$, där n,m,p och q är positiva heltal. Följaktligen är $(17^{13}-13^{11})^7 = ( 6r - 2)^7= 6a + 4$ där r och a är heltal.

Resten vid division med 6 är tydligen lika med 4.

Albiki

Albiki skrev :

Hej!

Det gäller att 17 = 6n - 1 och 13 = 6m + 1 vilket medför att $17^{13} = 6p - 1$ och $13^{11} = 6q + 1$, där n,m,p och q är positiva heltal. Följaktligen är $(17^{13}-13^{11})^7 = ( 6r - 2)^7= 6a + 4$ där r och a är heltal.

Resten vid division med 6 är tydligen lika med 4.

Albiki

Har du inte bytt ett tecken i näst sista steget? Borde det inte bli (6r-0)^7 ?

SvanteR skrev :

Albiki skrev :

Hej!

Det gäller att 17 = 6n - 1 och 13 = 6m + 1 vilket medför att $17^{13} = 6p - 1$ och $13^{11} = 6q + 1$, där n,m,p och q är positiva heltal. Följaktligen är $(17^{13}-13^{11})^7 = ( 6r - 2)^7= 6a + 4$ där r och a är heltal.

Resten vid division med 6 är tydligen lika med 4.

Albiki

Har du inte bytt ett tecken i näst sista steget? Borde det inte bli (6r-0)^7 ?

Nej, Albiki har rätt. -1-(+1) = -2.

Aj då! Jag fick för mig att det var en summa men  det är ju en differens. Beklagar spammandet!

Tack för hjälpen, dock kanske jag inte är helt med på resonemanget. Varför är 17 = 6n - 1 och 13 = 6m + 1?

Du har ju att 17 = 18 - 1 = 6*3 - 1, så det är alltså på formen 6n - 1. Samma så är 13 = 6*2 + 1 vilket alltså är på formen 6m + 1.

Ah, som jag misstänkte då. Tack!

Jag har ett liknande problem som lyder "Låt a vara ett heltal som inte är delbart med 3. Visa att $a^2=3k+1$ där k är ett naturligt tal."

Jag tänker såhär att om 3 inte delar $a^2$ så delar inte 3 heller $3k+1$, vilket betyder att 3 inte delar ${\left(3k+1\right)}^2$. Vidare kan man ju utveckla parentesen, men längre kommer jag inte. 

Om $a$ inte är delbart med 3, så måste det vara på formen

$a = 3k + 1$, eller

$a = 3k + 2$

Testa i båda fallen vilken form $a^2$ är på.