Elementär Algebra

För att visa att en funktion inte är surjektiv eller injektiv så hittar man exempel på tal som avbildas till samma tal eller visar på exempel på tal som inte finns i värdemängden.

$f(x) = x^2$ är inte surjektiv (över heltalen) eftersom $-1$ inte finns i värdemängden och funktionen är inte injektiv eftersom $f(1) = f(-1)$. Exempel. 

För att se om du kan hitta motexempel börja med att testa några olika tal och utnyttja att $\alpha_i$-talen behöver inte vara primtal så $f(n)$-uttrycket kan skrivas om på flera olika sätt typ $4^4 6^2 = 2^2 12^2$

$f: \mathbb{R}^{+} \rightarrow \mathbb{R}^{+}$ där $f(x) = x^2$ är både injektiv och surjektiv.

men,

$g: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$ där $g(x) = x^2$ är varken injektiv eller surjektiv.

För att en funktion ska vara surjektiv så måste värdemängden vara samma som målmängden. Målmängden måste anges tillsammans med funktionen för att man ska kunna avgöra detta.

För att visa att funktionen inte är injektiv så har vi att

$f(n) = 256$ för 

$n_1 = 3^2 \cdot 5^2 = 225$

$n_2 = 2^2 \cdot 3^4 = 324$

för

$f(n_1) = 2^3 \cdot 2^5 = 2^8 = 256$

$f(n_2) = 2^2 \cdot 4^3 = 2^8 = 256$

För att visa att funktionen inte är surjektiv så har vi att det inte existerar något $n$ så att $f(n) = 16 = 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 = 2^4$

Vi kan nämligen inte skriva $16 = 2^2 \cdot 2^2$ eller $16 = 2^1 \cdot 2^3$, eftersom vi måste ha olika primtal som exponent, samt $1$ är inget primtal.