Elementa årgång 57 problem nummer 2969
Jag har lagt ut det här problemet tidigare men då var det felformulerat så hoppas det är OK att jag lägger ut det igen. Det är ganska kul tycker jag.
Låt p, q och r beteckna positiva heltal utan gemensam delare och med p > q > r.
Antag vidare att 1/p + 1/q = 1/r.
Visa att p + q, p - r och q - r alla är kvadrater på heltal.
(Alla problem från den nedlagda tidskriften Elementa finns här:
http://www.swe-math-soc.se/Elementaproblemen/
)
Uppgiften fick mig osökt att tänka på två parallellkopplade motstånd när jag stötte på sambandet
1/r = 1/q + 1/p. Ser man r som det ekvivalenta motståndet till en parallellkoppling av resistenserna q och p så är r lika med ”produkten genom summan” dvs
r = p*q/(p+q)
Eftersom de tre talen p, q och r alla skall vara heltal så måste nämnaren (p+q) bestå av en produkt av två tal som går att förkorta bort mot motsvarande värden ingående i p och q i täljaren. Om nu p+q är kvadraten på ett heltal så är
