Elektrostatik: generell förvirring

Qetsiyah skrev:

Hej, kan någon finna fel i följande resonemang:

Vi betraktar ett elektriskt fält $E$ med potential $U$ så att $\nabla U=E$. Elektrisk potential definieras som ${\int }_l\overline{E}·d\overline{l}$ och kan räknas ut med $U(a)-U(b)$ där $a$ och $b$ är kruvan $l$:s ändpunkter. ($E$ är konservativ)

Ett rotationsfritt vektorfält kan alltid beskrivas som gradienten av ett skalärfält. Man har därför definierat en elektrisk potential $V$ så att:

$\overrightarrow{E} = - \overrightarrow{\nabla} V$

Här inkluderas ett negativt tecken enligt konventionen att om du flyttar en testladdning mot det elektriska fältet kommer den elektriska potentialen öka. Du får således:

$\displaystyle V_2 - V_1 = - \int_a^b \overrightarrow{E} \cdot d \overrightarrow{\ell}$

Jag misstänker att jag löper risk att blanda ihop begreppet potential från matten (ett skalärfält vars gradient är det elektriska fältet) och elektrisk potential (skillnaden på värdet av skalärfältet i två olika punkter). Hur vet jag inte men jag har säkert redan gjort det.

Ingen felaktig ihopblandning sker här. Jag vet inte vilken kurslitteratur du har men inom elektromagnetisk fältteori bygger man upp teorin med utgångspunkt i vektoralgebra och vektoranalys. När det elektriska fältet är konservativt är potentialskillnaden mellan två punkter lika med integralen av gradienten av potentialen längs med en valfri kurva mellan de två punkterna.

Jag har då en fråga. (In träder fysiken) När vi väljer en referenspunkt för vilken $U(x_0)=0$ så är det för att vi lite pragmatiskt vill slippa tala om potentialskillnader och bara potentialer i varje punkt, vilket helt enkelt blir $U$:s värde i varje punkt. Stämmer?

Ja. Det är en konvention som underlättar ibland men inte alltid*. Exempelvis när vi definierar potentialen för en punktladdning enligt:

$V_2 - V_1 = \dfrac{q}{4 \pi \epsilon_0} \left(\dfrac{1}{R_2} - \dfrac{1}{R_1}\right)$

Om du då sätter att $R_2 \rightarrow \infty$ vet du att $V_2 \rightarrow 0$ eftersom elektriska fältet är noll oändligt långt från en punktladdning vilket ger:

$V_1 = \dfrac{q}{4 \pi \epsilon_0} \dfrac{1}{R_1}$

Där index brukar tas bort för att det inte behövs. Här implicerar vi alltså att vi för en testladdning från en punkt oändligt långt bort till en punkt $R_1$ långt från punktladdningen och vill beräkna vilket mekaniskt arbete per laddningsenhet som skulle krävas.

Sedan är det så att det egentligen bara är en differens som kan beskrivas inom fysiken (läs kort om algebraic torsor inom fysik här eller mer matematiskt generellt här). Konventionen finns där för enkelhetens skull vid beräkning då omvänt kvadratiskt beroende på avståndet för styrkan på en kraft innebär en relativt snabb minskning. Således är det i en praktisk mening en bra vald punkt för att definiera nollpotential precis som gravitationspotential inom celest mekanik.

Men vad betyder att räkna potentialskillnad mellan två oändligt långt belägna punkter? Vad betyder att $U((\infty , \infty , \infty))=0$?

Jag är inte säker på om jag förstår frågan.

----------------------------------------------------------

*Jag drar mig till minnes flera fall då nollpotential föredras att definieras någon annanstans för att en analytisk lösning ska vara möjlig. Jag kommer inte på någon just nu men det brukar alltid vara med övningsuppgifter där detta krävs. Vi hade en tentauppgift som var utformad så kommer jag ihåg.

Just det, minustecknet!

Som svar på min egna fråga så är det att potentialen oändligt långt bort från en laddning såklart är noll. Inget mer komplicerat än så.

Sedan är det så att det egentligen bara är en differens som kan beskrivas inom fysiken (läs kort om algebraic torsor inom fysik här eller mer matematiskt generellt här). Konventionen finns där för enkelhetens skull vid beräkning då omvänt kvadratiskt beroende på avståndet för styrkan på en kraft innebär en relativt snabb minskning. Således är det i en praktisk mening en bra vald punkt för att definiera nollpotential precis som gravitationspotential inom celest mekanik.

Jag förstår inte?