Elektrostatik

Till följande uppgift för att beräkna det elektriska fältet, är det tänkt att man ska använda Gauss sats $\oint_S \vec{E} \cdot \vec{ds}$ eller beräkna det "manuellt" mha superposition, dvs $\vec{E} (\vec{r}) = \frac{1}{4 π ε_{0}} \int_{S}^{} \frac{ρ_{s} (\vec{r}')}{| \vec{r} - \vec{r'} |^{2}} \frac{\vec{r} - \vec{r'}}{| \vec{r} - \vec{r'} |} d s'$ ?

Jag försökte lösa uppgiften mha superposition men tyckte det var väldigt krångligt. Använder mig av cylindriska koordinater och uttrycker

$\vec{r}=R\hat{r}+z\hat{z}$ för något slumpmässigt R och z.

$\vec{r'}=r\hat{r}+z'\hat{z}$ där r är antingen a eller b, z slumpmässigt.

När vi ska utveckla längden $|\vec{r}-\vec{r'}|$ blir det jobbigt då vi har olika vinklar på phi och z, dvs $\varphi$ och $\varphi '$ samt z och z'. Det går att lösa men det kommer nog ta två A4-papper.

Hur är det egentligen tänkt man ska lösa följande uppgift?

Tycker du svarar på din egen fråga, använd Gauss sats. Lägg en testvolym (helst en cylinderformad sådan) innanför den första cylinderytan, Hur stor blir den inneslutna laddningen? Alltså är E-fältet där? (ledtråd: Gauss sats!).

Sedan ökar du radien på din testcylinder så att den innesluter en del av den mindre cylinderytan med radie $a$ . Vad ska gälla här, hur stor laddning är innesluten? Utnyttja att E-fältet av symmetri endast kan ha en radiell komponent.

Visa dina försök

D4NIEL skrev:
Tycker du svarar på din egen fråga, använd Gauss sats. Lägg en testvolym (helst en cylinderformad sådan) innanför den första cylinderytan, Hur stor blir den inneslutna laddningen? Alltså är E-fältet där? (ledtråd: Gauss sats!).

Sedan ökar du radien på din testcylinder så att den innesluter en del av den mindre cylinderytan med radie $a$ . Vad ska gälla här, hur stor laddning är innesluten? Utnyttja att E-fältet av symmetri endast kan ha en radiell komponent.

Visa dina försök

Det blir svårt när jag ska uttrycka $\vec{E} \left( \vec{r} \right)$ enligt formeln (1). Det som är svårt är att ta fram skillnaden av källvektorn r och fältvektorn r', eftersom de har olika vinklar $\varphi$ . Det är väl så här det är tänkt man ska göra?

Om jag tänker intuitivt istället.

Gauss lag $\oint_S \vec{E}\cdot \vec{ds}=\dfrac{Q_{in}}{\epsilon_0}$ .

Laddningen ligger på ytan av cylindern med radie a. Gauss-cylindern ligger inuti cylindern med radie a, alltså kan inga laddningar finnas inuti denna Gauss-cylinder. Alltså blir högerledet i Gauss lag lika med noll?

Ja, just det. Och då är $\mathbf{E}\equiv 0$ i intervallet $0<r<a$

Låtsas att testcylindern är $\Delta z$ lång och har radien $r$ . Av symmetri får fältet bara bestå av en radiell del $\mathbf{E}=E_\rho\hat{\rho}$

Hur stor är den inneslutna laddningen då testcylindern befinner sig i intervallet $a<r<b$ , dvs då man befinner sig mellan mantelyta $a$ och mantelyta $b$ ?

Hur ser integralsambandet ut enligt Gauss? Beräkna integralen och lös ut $E_\rho$

D4NIEL skrev:
Ja, just det. Och då är $\mathbf{E}\equiv 0$ i intervallet $0<r<a$

Låtsas att testcylindern är $\Delta z$ lång och har radien $r$ . Av symmetri får fältet bara bestå av en radiell del $\mathbf{E}=E_\rho\hat{\rho}$

Hur stor är den inneslutna laddningen då testcylindern befinner sig i intervallet $a<r<b$ , dvs då man befinner sig mellan mantelyta $a$ och mantelyta $b$ ?

Hur ser integralsambandet ut enligt Gauss? Beräkna integralen och lös ut $E_\rho$

Jag förstår inte riktigt varför Gauss-ytan måste omfatta själva laddningen för att den ska kunna ha ett elektriskt fält på Gauss-ytan. Det elektriska fältet förstår jag är noll på avstånd som är jättelångt ifrån själva laddningsytan, är detta fallet här då eller?

Edit: Jag tror förstår nu. Om laddningen ligger utanför ytan, kommer de fältlinjer som går in i ytan också gå ut igen, vilket leder till att nettoflödet genom ytan blir noll.

Här är hela svaret för uppgift (a). E-fältet beror på hur vi väljer Gauss-ytan.

Snyggt!

Varför använde vi Gauss lag i den här uppgiften? Jo, uppgiften hade en symmetri (oändlig utsträckning i z-led) som gjorde att vi redan på förhand insåg att fältet bara får ha en radiell komponent $\mathbf{E}=E_r(r)\hat{r}$ . Dessutom var det lätt att hitta en Gauss-yta vinkelrät mot $\hat{r}$ (mantelytan till en testcylinder, flödet går ju ut ur ytan, i normalens riktning)

Gauss lag säger att det totala flödet ut genom en sluten yta (i radiell led i vårt problem eftersom övriga riktningar har 0 flöde av symmetri) ska vara lika med den totala inneslutna laddningen (delat med $\epsilon_0$ ).

I fall 3 ( $R>b$ ) använder du superposition för att "addera" fälten. Du hade fått samma svar om du räknat med "hela" den inneslutna laddningen, dvs $Q_{in}=Q_a+Q_b$ direkt i Gauss sats och bara gjort ett steg.

För b) uppgiften räcker det nu att kolla under vilka förutsättningar fältet blir noll.

D4NIEL skrev:
Snyggt!

Varför använde vi Gauss lag i den här uppgiften? Jo, uppgiften hade en symmetri (oändlig utsträckning i z-led) som gjorde att vi redan på förhand insåg att fältet bara får ha en radiell komponent $\mathbf{E}=E_r(r)\hat{r}$ . Dessutom var det lätt att hitta en Gauss-yta vinkelrät mot $\hat{r}$ (mantelytan till en testcylinder, flödet går ju ut ur ytan, i normalens riktning)

Gauss lag säger att det totala flödet ut genom en sluten yta (i radiell led i vårt problem eftersom övriga riktningar har 0 flöde av symmetri) ska vara lika med den totala inneslutna laddningen (delat med $\epsilon_0$ ).

I fall 3 ( $R>b$ ) använder du superposition för att "addera" fälten. Du hade fått samma svar om du räknat med "hela" den inneslutna laddningen, dvs $Q_{in}=Q_a+Q_b$ direkt i Gauss sats och bara gjort ett steg.

För b) uppgiften räcker det nu att kolla under vilka förutsättningar fältet blir noll.

yes jag löste b. tack för all hjälp

Svara

Visa senaste svar