Elektricitet: Kapacitans mellan cylinderformade plattor

Hej, detta är frågan:

Inuti en antennkabel finns det en ledande kopparkärna med diametern 0,8 mm och ett ledande cylindriskt ytterhölje med innerdiametern 2,0 mm, allt omslutet av isolerande plast. Mellan ledarna finns det i en viss antennkabel, två lika tjocka isolationslager med relativa permittiviteterna 4,0 samt 3,0 räknat inifrån och ut. Hur stor kapacitans har koaxialkabeln per meter kabel?

Facit (inte hela facit):

Men mitt uttryck för $\displaystyle C_1$ blir $\displaystyle \frac{2\pi\epsilon_0\epsilon_rLb}{b-a}$ enligt formeln $\displaystyle C=\frac{\epsilon_0\epsilon_rA}{d}$ . Jag förstår att det blir fel eftersom vi inte har rektanguära plattor utan cylindrar, men det är inte det jag vill fråga om.

Om vi antar att $E$ inte beror av $r$ eftersom tjockleken är så liten blir integralen inte $ln\frac{b}{a}$ utan $(b-a)$ , och då liknar facits svar mer mitt, men var försvinner $b$ :et i täljaren?

Visa spoiler

Förresten, det där är väl inte alls en sluten linjeintegral som cirkeln indikerar?

Det blir uppenbarligen ”fel” dimension på svaret, ln(b/a) är dimensionslöst med (b-a) är en längd. (b/(b-a) är däremot dimensionslöst.

Det var längesen jag läste om detta, men det ser ut som man helt enkelt inte kan approximera E att vara homogent fält i cylindern även då a och b är nästan lika. (I fallet med rektangulära plattor med stor utsträckning så blir fältet homogent, eller hur?)

E kan nog inte bli homogent i cylindern, eftersom ”plattans area” vid b är större än vid a.

Men $\displaystyle \frac{b}{b-a}$ approximerar $\displaystyle \frac{1}{ln(b/a)}$ väldigt bra... Jag förstår inte ens varför ur mattesynpunkt

$\dfrac{b}{b-a} = \dfrac{1}{1-a/b}$

$\dfrac{1}{\log(b/a)}=\dfrac{1}{1-(1-\log(b/a))}$

Om du jämför a/b och 1 - log(b/a) ser du att när a och b närmar sig varandra närmar sig de två uttrycken både samma värde och samma derivata.

Förresten, det där är väl inte alls en sluten linjeintegral som cirkeln indikerar?

Stämmer bra det. En sluten hade nödvändigtvis varit lika med noll snarare än potentialskillnaden.

Svara

Visa senaste svar