Elastiska linjens ekvation - balkar

Ingen av dem är rätt uttryck. Den korrekta differentialekvationen är:

$\dfrac{d^4v}{dx^4} = -\dfrac{q}{EI} \ [1/m^3]$

Denna kan alltså integreras direkt fyra gånger för att få fram utböjningen.

Notis:

Du verkar blanda ihop $V$ som är tvärkraften med $v$ som här är utböjningen. För att undvika detta brukar man kalla tvärkraften $T$ eller utböjningen $w$.

En annan startpunkt

Du har en felaktig uppställning av den utbredda lasten. Du skrev:

$q = -15x$

Eftersom den är konstant ska det vara:

$q = -15 \ [kN/m]$

Detta ger tvärkraften:

$V(x) = -15x+C_1$

Momentet blir:

$M(x) = -15x^2/2+C_1x+C_2$

Böjvinkeln blir:

$\theta(x) = \dfrac{1}{EI}\left(-15x^3/6+C_1x^2/2+C_2x+C_3\right)$

Utböjningen blir:

$v\left(x\right) = \dfrac{1}{EI}\left(-15x^4/24+C_1x^3/6+C_2x^2/2+C_3x+C_4\right)$

Du ska nu alltså bestämma fyra konstanter med dina fyra randvillkor:

$v(0)=v(L)=M(0)=M(L)=0$

Vi hade kunnat starta med differentialekvationen direkt men man föredrar det sättet jag gjorde på ovan därför att du kan bestämma $C_1$ och $C_2$ direkt med randvillkoren för moment.

Tack för svar! En sak jag inte riktigt förstår är hur mitt uttryck att lasten kan vara fel. Såhär tänker jag.

Lasten q är beroende av antal meter och den är nedåtriktad. Därför borde ju bli q = -15x, eftersom den beror på antalet meter.

sedan så skrev du att tvärkraften blir:

V(x)=−15x+C1

Definitionen av utbredda lasten är derivatan av tvärkraften med ombytt tecken, har jag fått lära mig. Men ifall vi deriverar den tvärkraften så får vi ju  att q=15, vilket inte stämmer…så förstår inte riktigt..

Sedan har jag inte läst differentialekvationer, men jag hoppas inte att det ska vara ett problem för att kunna förstå detta.

Matte98 skrev:

Lasten q är beroende av antal meter och den är nedåtriktad. Därför borde ju bli q = -15x, eftersom den beror på antalet meter.

Nej. Två saker:

• Det är inte en last utan en lastintensitet vilket är Newton per meter. Du försöker formulera den resulterande lasten $Q=15x$ men det är inte vad du ska göra.
• Det som "beror på antalet meter" är tvärkraften då den är en reaktion inuti materialet på den yttre belastningen.

sedan så skrev du att tvärkraften blir:

V(x)=−15x+C1

Definitionen av utbredda lasten är derivatan av tvärkraften med ombytt tecken, har jag fått lära mig.

Nej, inte utbredda lasten. Lastintensiteten.

Det där är bara en konvention din föreläsare valt att följa och den skiljer sig mellan industrier, lärosäten och böcker. Du menar detta:

$q\left(x\right)=-\dfrac{d}{dx}V\left(x\right)$

Detta är när man väljer lastintensiteten uppåt men tvärkraften nedåt som positiv på en snittyta.

Men ifall vi deriverar den tvärkraften så får vi ju  att q=15, vilket inte stämmer…så förstår inte riktigt..

Om du vill följa din konvention kan du göra det men det spelar absolut ingen roll för slutresultatet.

Sedan har jag inte läst differentialekvationer, men jag hoppas inte att det ska vara ett problem för att kunna förstå detta.

Det ska räcka det du läst i gymnasiet men det beror lite på, ofta krävs introducerande differentialekvationer från envariabelanalys för att inte bli helt förvirrad.

Läser du första eller andra året?

Tillägg: 25 okt 2021 15:39

Det man vill komma fram till i slutändan är följande:

Tack för klarningen! Jag läser andra året. Så det finns alltså en skillnad mellan begreppet last och lastintensitet. I denna uppgift är lasten -15x, och lastintensitet  är -15. Integrerar vi lastintensiteten så får vi tvärkraften, dvs -15x+c1. Det är jag med på, men om man nu säger att ”lastintensiteten är derivatan av tvärkraften med ombytt tecken” så stämmer det ju inte med ovanståend…eller då får man ju endast aboslutbelopp av lastintensiteten..så det halvstämmer

Jag lyckades lösa den uppgiften. Men tycker att konventionerna rör till det litegrann då olika säten har olika definitioner. 

Matte98 skrev:

Så det finns alltså en skillnad mellan begreppet last och lastintensitet.

Ja, verkligen. Föreställ dig att du har en utbredd last som är konstant lika med 100 N. Då är intensiteten 100 N/m men totala lasten är 100×L (längden på balken).

...men om man nu säger att ”lastintensiteten är derivatan av tvärkraften med ombytt tecken” så stämmer det ju inte med ovanståend…eller då får man ju endast aboslutbelopp av lastintensiteten..så det halvstämmer

Jag tror att din bok/föreläsare definierar lastintensitet som positiv uppåt. Jag tror också att ni definierar tvärkraft som leder till nedböjning som positiv. Detta leder sin tur till att en negativ lastintensitet leder till nedböjning eller:

$EI\dfrac{d^4}{dx^4} v\left(x\right) = -q\left(x\right)$

Om vi nu ska ha en definition att nedåtriktad tvärkraft är positiv måste vi på grund av ovan definiera:

$\dfrac{d}{dx}V\left(x\right) = -q\left(x\right)$

Detta därför att om du snittar och studerar den faktiska tvärkraften inuti balken kommer den nödvändigtvis vara motriktad lastintensiteten.

Tackar så mycket för allt! Det stämmer som du säger 😊