Ekvivalent radie
Svaret är 0.41 mm, hur ska jag räkna ut det? Hittar ingen formel för detta fall.
Är det meningen att siffervärdena i uppgiften skall räcka eller behövs det också materialvärden för stålegenskaper?
Jan Ragnar skrev:Är det meningen att siffervärdena i uppgiften skall räcka eller behövs det också materialvärden för stålegenskaper?
Vi har tillgång till boken där stålegenskaper står, så dom kan behövas
I följande Wikipediaartikel finns det en del om ”Hertzian contact problems”.
https://en.wikipedia.org/wiki/Contact_mechanics
Kanske kan hjälpa lite?
Detta är inte ett trivialt problem.
Problemet är helt obekant för mig men jag spenderar 30 minuter här på att gissningsvis lära mig det och fick följande.
1. Aldrig hört ordet Hertzkontakt men jag googlar det och kommer till https://en.wikipedia.org/wiki/Contact_mechanics
Där finner jag att problemet med kula på plan yta är analytiskt löst och har standardformler
https://en.wikipedia.org/wiki/Contact_mechanics#Classical_solutions_for_non-adhesive_elastic_contact
Jag ser ingen analys av fallet med en kula i en konkav sfärisk inbuktning men i avsnittet står en kryptisk kommentar om att fallet "Contact between two spheres", kontakt mellan två sfäriska kulor med radie R1 och R2 ska vara matematiskt reducibelt till kontakten mellan en plan yta och en effektiv-sfär med radie R som definieras via formeln
1/R = 1/R1 + 1/R2
2. Ingen aning om kula i inbukning är ekvivalent med kontakten mellan en kula och en inverterad sfär med negativ radie men vi gör en chansning på att formeln gäller för inbukning. Inspiration tas från formler med linser där negativa radier är fullt giltiga.
Effektivradien hos ekvivalentkulan är då
R = 1/(1/8mm + 1/(-13 mm)) = 20,8 mm
3. Från wiki ska alltså radien a på den cirkulära kontaktytan ges av formeln
a = (3PR/4E*)^(1/3)
där P är lasten 500 N, R är effektivradien på kulekvivalenten, och E* är effektivmodulu definierat via
E* = E/(2*(1 - v^2)) [från formel 3 i wiki-avsnittet)
E* = 77.6 GPa
3. Naiv insättning i formeln
a = (3PR/4E*)^(1/3) = (3*500 * 0.0208 /(4 * 77.6*10^9))^(1/3) = 0,00046 m
0,46 mm
Vi har rätt storleksordning men fel värd enligt facit.
4. Felsökning.
Finns två möjligheter
(a) Mitt tillämpning av effektivradien R är fel och formeln är inte giltig för negativa radier
(b) Värdena på bulkmodulus och poissonkvot som wolfram använder är inte samma som uppgiften förutsätter. Testa att räkna ut effektivmodulus
E* = E/(2*(1 - v^2))
med dina tabellvärdfen och byta ut mion siffra
a = (3PR/4E*)^(1/3) = (3*500 * 0.0208 /(4 * 77.6*10^9))^(1/3) = 0,00046 m
med din och se om du får facits svar.
