Ekvivalens&implikation

Är du med på att

"x är ett heltal" $\Rightarrow$ "x är ett rationellt tal"?

Är du med på att

"x är inte ett rationellt tal" $\Rightarrow$ "x är inte ett heltal"?

=======

Det som står I boken är att detta gäller generellt, dvs om $A\Rightarrow B$ så gäller det att $-B\Rightarrow -A$.

Detta följer direkt av sanningstabellen för implikation om du är bekant med den.

Yngve skrev:

Är du med på att

"x är ett heltal" $\Rightarrow$ "x är ett rationellt tal"?

Är du med på att

"x är inte ett rationellt tal" $\Rightarrow$ "x är inte ett heltal"?

=======

Det som står I boken är att detta gäller generellt, dvs om $A\Rightarrow B$ så gäller det att $-B\Rightarrow -A$.

Ja jag är med på det. Det måste innebära att båda påstående gäller åt båda hållen? 

destiny99 skrev:

Ja jag är med på det. Det måste innebära att båda påstående gäller åt båda hållen? 

Nja, hur menar du "åt båda hållen"?

Yngve skrev:

destiny99 skrev:

Ja jag är med på det. Det måste innebära att båda påstående gäller åt båda hållen? 

Nja, hur menar du "åt båda hållen"?

"x är ett heltal => "x är ett rationellt tal"

Kan man då säga att det omvända gäller här?

" x är ej ett rationellt tal => " x är ej ett heltal" 

Kan man även säga här att det omvända gäller så båda påståenden är ekvivalenta med ekvivalenspil?

när du säger att det gäller generellt A=>B och -B=>A. Vad menar du då med -B=>A? 

destiny99 skrev:

"x är ett heltal => "x är ett rationellt tal"

Kan man då säga att det omvända gäller här?

" x är ej ett rationellt tal => " x är ej ett heltal" 

Ja, det stämmer. Vi kan skriva det på följande sätt:

("x är ett heltal" $\Rightarrow$ "x är ett rationellt tal") $\Rightarrow$ ("x är inte ett rationellt tal" $\Rightarrow$ "x är inte ett heltal")

Kan man även säga här att det omvända gäller så båda påståenden är ekvivalenta med ekvivalenspil?

Ja, om du menar följande så stämmer det:

("x är ett heltal" $\Rightarrow$ "x är ett rationellt tal") $\Leftrightarrow$ ("x är inte ett rationellt tal" $\Rightarrow$ "x är inte ett heltal")

Alltså en dubbelpil ($\Leftrightarrow$) mellan implikationerna.

när du säger att det gäller generellt A=>B och -B=>A. Vad menar du då med -B=>A? 

Nej jag skrev -B $\Rightarrow$ -A.

A och B är påståenden.

Minustecknet betyder negation.

Exempel: Om A betyder "det regnar" så betyder -A "det regnar inte"

=====

EDIT: Jag borde använda symbolen $\neg$ istället för minustecken för att indikera negation.

Yngve skrev:

destiny99 skrev:

"x är ett heltal => "x är ett rationellt tal"

Kan man då säga att det omvända gäller här?

" x är ej ett rationellt tal => " x är ej ett heltal" 

Ja, det stämmer. Vi kan skriva det på följande sätt:

("x är ett heltal" $\Rightarrow$ "x är ett rationellt tal") $\Rightarrow$ ("x är inte ett rationellt tal" $\Rightarrow$ "x är inte ett heltal")

Kan man även säga här att det omvända gäller så båda påståenden är ekvivalenta med ekvivalenspil?

Ja, om du menar följande så stämmer det:

("x är ett heltal" $\Rightarrow$ "x är ett rationellt tal") $\Leftrightarrow$ ("x är inte ett rationellt tal" $\Rightarrow$ "x är inte ett heltal")

Alltså en dubbelpil ($\Leftrightarrow$) mellan implikationerna.

när du säger att det gäller generellt A=>B och -B=>A. Vad menar du då med -B=>A? 

Nej jag skrev -B $\Rightarrow$ -A.

A och B är påståenden.

Minustecknet betyder negation.

Exempel: Om A betyder "det regnar" så betyder -A "det regnar inte"

=====

EDIT: Jag borde använda symbolen $\neg$ istället för minustecken för att indikera negation.

Jaha jag menar egentligen dubbelpil på det sättet:

"X är ett heltal "<=> "x är ett rationellt tal". 

"X är ett inte ett rationellt tal" <=> "X är inte ett heltal" .

Kan man skriva på det sättet också? 

Jaha så om A är det regnar så är B att det ej regnar?

destiny99 skrev:

Jaha jag menar egentligen dubbelpil på det sättet:

"X är ett heltal "<=> "x är ett rationellt tal". 

"X är ett inte ett rationellt tal" <=> "X är inte ett heltal" .

Kan man skriva på det sättet också? 

Nej, för de ekvivalenserna (dubbelpilarna) stämmer inte.

Motexempel till ekvivalensen "X är ett heltal "<=> "x är ett rationellt tal".:

Om x = 1/2 så är x ett rationellt tal men inte ett heltal. Därför gäller iinte vänsterpilen.

Motexempel till ekvivalensen"X är inte ett rationellt tal" <=> "X är inte ett heltal":

Om x = 1/2 så är x inte ett heltal, men det är ett rationellt tal. Därför gäller iinte vänsterpilen.

Jaha så om A är det regnar så är B att det ej regnar.

Nej, det är inte så att B är negationen av A.

$\neg$ A är negationen av A. $\neg$ B är negationen av B.

Men jag tror att vi väntar lite med att generalisera med hjälp av A och B tills vi vet att grunderna med implikationer, negationer och ekvivalenser sitter.

Yngve skrev:

destiny99 skrev:

Jaha jag menar egentligen dubbelpil på det sättet:

"X är ett heltal "<=> "x är ett rationellt tal". 

"X är ett inte ett rationellt tal" <=> "X är inte ett heltal" .

Kan man skriva på det sättet också? 

Nej, för de ekvivalenserna (dubbelpilarna) stämmer inte.

Motexempel till ekvivalensen "X är ett heltal "<=> "x är ett rationellt tal".:

Om x = 1/2 så är x ett rationellt tal men inte ett heltal. Därför gäller iinte vänsterpilen.

Motexempel till ekvivalensen"X är inte ett rationellt tal" <=> "X är inte ett heltal":

Om x = 1/2 så är x inte ett heltal, men det är ett rationellt tal. Därför gäller iinte vänsterpilen.

Jaha så om A är det regnar så är B att det ej regnar.

Nej, det är inte så att B är negationen av A.

$\neg$ A är negationen av A. $\neg$ B är negationen av B.

Men jag tror att vi väntar lite med att generalisera med hjälp av A och B tills vi vet att grunderna med implikationer, negationer och ekvivalenser sitter.

Jaha okej ja dessa motexempel tänkte jag ej på. Men då gäller ej ekvivalenspilarna såfall för dessa exempel om man kommer på de där motexempel.  Som jag förstår det så gäller då bara implikationspil för ena och andra exemplet?  Då är det inte så bra med den där exemplet boken tog upp isåfall där författaren säger :

"X är ett heltal" =>  "X är ett rationellt tal"  för det stämmer ej på tex 1/2 eller liknande. Det där påståendet är ej generellt isåfall. Hade varit bättre med andra exempel där både => och <=> faktiskt gäller samtidigt.

"X är ett heltal" => "X är ett rationellt tal"

betyder att i alla situationer där vänsterledet är sant så är högerledet sant.

Det motsägs inte av X = 1/2, för då är vänsterledet inte sant.

Laguna skrev:

"X är ett heltal" => "X är ett rationellt tal"

betyder att i alla situationer där vänsterledet är sant så är högerledet sant.

Det motsägs inte av X = 1/2, för då är vänsterledet inte sant.

När man säger påståendet "X är ett heltal" => "X är ett rationellt tal "  så tänker man att ju bara på heltal och då blir HL sant eftersom heltal kan skrivas som tex 4/1 varför det är rationellt tal. Jaha okej så den motsägelsen gäller bara då vi försöker att använda ekvivalenspilen? För då blir ju ej vänsterledet sant. 

destiny99 skrev:

När man säger påståendet "X är ett heltal" => "X är ett rationellt tal "  så tänker man att ju bara på heltal och då blir HL sant eftersom heltal kan skrivas som tex 4/1 varför det är rationellt tal. Jaha okej så den motsägelsen gäller bara då vi försöker att använda ekvivalenspilen? För då blir ju ej vänsterledet sant. 

Ja det stämmer.

En implikationspil kan utläsas som "Om ... så ...".

Utsagan (påståendet) "x är ett heltal" $\Rightarrow$ "x är ett rationellt tal" kan alltså utläsas "Om x är ett heltal så är x ett rationellt tal".

Denna utsaga är alltid sann eftersom alla heltal även är rationella tal. Implikationen gäller alltså alltid.

Däremot är utsagan "Om x är ett rationellt tal så är x ett heltal" inte alltid sann, vilket motexemplet x = 1/2 visar.

Det betyder att implikationen "x ör ett heltal" $\Leftarrow$ "x är ett rationellt tal" inte gäller generellt.

Yngve skrev:

destiny99 skrev:

När man säger påståendet "X är ett heltal" => "X är ett rationellt tal "  så tänker man att ju bara på heltal och då blir HL sant eftersom heltal kan skrivas som tex 4/1 varför det är rationellt tal. Jaha okej så den motsägelsen gäller bara då vi försöker att använda ekvivalenspilen? För då blir ju ej vänsterledet sant. 

Ja det stämmer.

En implikationspil kan utläsas som "Om ... så ...".

Utsagan (påståendet) "x är ett heltal" $\Rightarrow$ "x är ett rationellt tal" kan alltså utläsas "Om x är ett heltal så är x ett rationellt tal".

Denna utsaga är alltid sann eftersom alla heltal även är rationella tal. Implikationen gäller alltså alltid.

Däremot är utsagan "Om x är ett rationellt tal så är x ett heltal" inte alltid sann, vilket motexemplet x = 1/2 visar.

Det betyder att implikationen "x ör ett heltal" $\Leftarrow$ "x är ett rationellt tal" inte gäller generellt.

Okej då förstår jag. Hur är det med negrerade påståendet "x är inte ett rationellt tal"  =>  " x är ej ett heltal" ? Då stämmer den generellt? I boken säger de även att det blir ekvivalens även då implikationspilen byter riktning

"Speciellt följer det en ekvivalens mellan två påståenden också ger en ekvivalens mellan deras negationer". Det är just den här meningen jag undrar om hur de menar med ekvivalens för jag ser ej det.

destiny99 skrev:

Okej då förstår jag. Hur är det med negrerade påståendet "x är inte ett rationellt tal"  =>  " x är ej ett heltal" ? Då stämmer den generellt?

Ja det stämmer. Den implikationen stämmer generellt.

I boken säger de även att det blir ekvivalens även då implikationspilen byter riktning

Nej, det de skriver är att om ekvivalens gäller mellan två påståenden så gäller även ekvivalens mellan påståendenas negationer.

Vi kan inte använda detta på det givna exemplet med hektal/rationella tal eftersom det inte råder ekvivalens mellan dessa två påståenden.

Jag hittar därför på ett annat exempel där det råder ekvivalens mellan två påståenden:

"x är ett jämnt heltal" $\Leftrightarrow$ "x ger ingen rest när det delas med 2" är en ekvivalens (dubbelpil) som alltid är giltig.

Då är även ekvivalensen "X är inte ett jämnt heltal" $\Leftrightarrow$ "x ger en rest när det delas med 2" alltid giltig.

=====

Vi prövar igen med symboler för att tydliggöra strukturen i detta.

Det som står i bokens sista stycke är att om $A\Leftrightarrow B$ gäller så gäller även $\neg A\Leftrightarrow\neg B$

Observera alltså att det är dubbelpil (ekvivalens) mellan A och B.

Yngve skrev:

destiny99 skrev:

Okej då förstår jag. Hur är det med negrerade påståendet "x är inte ett rationellt tal"  =>  " x är ej ett heltal" ? Då stämmer den generellt?

Ja det stämmer. Den implikationen stämmer generellt.

I boken säger de även att det blir ekvivalens även då implikationspilen byter riktning

Nej, det de skriver är att om ekvivalens gäller mellan två påståenden så gäller även ekvivalens mellan påståendenas negationer.

Exempel:

"x är ett jämnt heltal" $\Leftrightarrow$ "x ger ingen rest när det delas med 2" är en ekvivalens (dubbelpil) som alltid är giltig.

Då är även ekvivalensen "X är inte ett jämnt heltal" $\Leftrightarrow$ "x ger en rest när det delas med 2" alltid giltig.

=====

Vi prövar igen med symboler för att tydliggöra strukturen i detta.

Det som står i bokens sista stycke är att om $A\Leftrightarrow B$ gäller så gäller även $\neg A\Leftrightarrow\neg B$

Observera alltså att det är dubbelpil (ekvivalens) mellan A och B.

Jaha okej, det blev mycket tydligare att förstå detta nu. Tack!  Får anteckna nånstans :)

destiny99 skrev:

Jaha okej, det blev mycket tydligare att förstå detta nu. Tack!  Får anteckna nånstans :)

Bra. Läs gärna mitt senaste svar igen, jag skrev till en förtydligande mening där.

Yngve skrev:

destiny99 skrev:

Jaha okej, det blev mycket tydligare att förstå detta nu. Tack!  Får anteckna nånstans :)

Bra. Läs gärna mitt senaste svar igen, jag skrev till en förtydligande mening där.

Aa jag läste!