Ekvivalens

Hej

kan någon hjälpa mig med följande uppgift:

Bevisa att relationen $~$ på $N \times N$ , definierad enligt $(a, b) ~ (c, d) \leftrightarrow a + d = b + c$

för alla $(a, b), (c, d) \in N \times N$ är en ekvivalensekvation på $N \times N$ .

Beskriv elementen i ekvivalensklassen $[(0, 2)]$ . Denna ekvivalensrelation används i samband med att man utvidgar talområdet N till Z.

Som jag ser det har vi alltså att (a,b) och (c,d) är ekvivalenta samt att a+d=b+c

men jag vet inte riktigt hur man ska ta sig vidare.

För att formellt visa att något är en ekvivalensrelation så verifierar du axiomen för en ekvivalensekvation.

Ett av axiomen är tillexempel att element är lika med sig själva $X \sim X$ dvs att relationen är reflexiv.

För alla par a,b gäller att $a + b = a+ b$ och därmed att

$(a,b) \sim (a,b)$

Relationen är därmed reflexiv.

Vilka är resten av axiomen/egenskaperna hos en ekvivalensrelation? Visa sedan att de stämmer för den här relationen.

2. För [(0,2)] behöver du skapa dig en förståelse över vad klassen representerar. Testa med att hitta flera olika element som ligger i samma klass genom att testa dig fram.

utöver att relationen ska vara reflexiv måste den ju vara symmetrisk och transitiv för den ska vara en ekvivalensrelation.

Då vi vet att den nu är reflexiv så om den ska vara symmetrisk måste det gälla att om a=b så ska även b=a så därmed är väl relationen även symmetrisk.

För att den ska vara transitiv så ska det medföra att om a=b och b=c så ska a=c men jag är inte säker på hur jag ska gå vidare från det.

Svara