Ekvipartitionsprincipen

Google gav mig att :

"säger att energin för ett system led n-frihetsgrader i genomsnitt är utspridd jämt över frihetsgraderna"

Nu så säger boken att enligt principen lagras hälften av vibrationsenergin som potentiell och hälften som kinetisk.

1) Är det bara vibrations som lagras 50/50 - men totalt så är energin utspridd över alla frihetsgraderna?

2) Är det bara den kinetiska som fördelas över frihetsgrader? (Jag tänker ja - pga rörelse och kinetisk energi, men samtidigt nej på rörelse kan göra att partiklar är nära/långt ifrån och påverka potentiell energi: Mao är jag flrvirrad/konfunderad!!)

Om man kollar på engelskspråkiga Wikipedia verkar det som att principen säger att både potentiell och kinetisk energi är fördelad lika över alla frihetsgrader. Inte bara de som hör ihop med vibration.

Den mest allmänna form av principen ser ut såhär:

$\langle x_m \frac{\partial H}{\partial x_n} \rangle = \delta_{mn} k_B T$

där H är Hamiltonianen för systemet och $\delta_{mn}$ är Kroneckerdeltat.

Om man jobbar med kvadratiska termer i potentiella energin så ser Hamiltonian alltid ut som $H = \frac{1}{2}mv^2 + \frac{1}{2} \alpha x^2$ och således blir energin alltid utspridd 50/50.

Om man däremot jobbar med t ex linjära termer som exempelvis gravitation så fås en Hamiltonian på formen

$H=\frac{1}{2} m v^2 + mgx$ och använder vi då ekvipartitionsprincipen får vi då ett bidrag på $\langle mgx \rangle = k_B T$ (notera att vi här inte har någon faktor 1/2 framför).

Så svar på fråga 1) är: Nej, alla bidrag med kvadratiska termer bidrar lika mycket.
Svar på fråga 2): Nej, alla bidrag gäller över alla frihetsgrader. Har du en massa som är fixerad i en 3 dimensioner med t ex en kraft som vill tvinga tillbaka massan till sitt ursprungsläge så måste du räkna med 3 frihetsgrader även för den termen.

Svara