ekvationssystem

Det går dessvärre inte att hitta determinanten av en icke-kvadratisk matris. Däremot kan du genomföra gauss-jordanelimination. Vad får du? :)

försökte med gauss-jordan elimination och kom såhär långt innan jag fastnade

Har inte gjort så mycket gauss-jordanelimination så har nog inte så mycket rutin men jag kan inte se hur det går att komma vidare härifrån.. Ev om man tar 1/5R3+R1 men då kommer man bara fastna igen efter det. Elementen i diagonalen kommer ju bli 0.

$$\begin{gathered} \begin{array}{cccccc}1& -3& 0& -a& |& -1\\ -2& 6& 1& 3a& |& 2\\ 3& -9& a& -2a& |& -3\end{array}\begin{array}{c}\left(1\right)\\ \left(2\right)\\ \left(3\right)\end{array} \\ (2\text{'})=\left(2\right)+2\left(1\right) \\ \begin{array}{c}\\ (+)\\ \end{array}\begin{array}{cccccc}-2& 6& 1& 3a& |& 2\\ 2& -6& 0& -2a& |& -2\\ 0& 0& 1& a& |& 0\end{array} \\ ⋮ \\ \begin{array}{cccccc}1& -3& 0& -a& |& -1\\ 0& 0& 1& 0& |& 0\\ 3& -9& a& -2a& |& -3\end{array}\begin{array}{c}\left(1\right)\\ (2\text{'})\\ \left(3\right)\end{array} \\ (3\text{'})=\left(3\right)-3\left(1\right) \\ \begin{array}{c}\\ (-)\\ \end{array}\begin{array}{cccccc}3& -9& a& -2a& |& -3\\ 3& -9& 0& -3a& |& -3\\ 0& 0& a& a& |& 0\end{array} \\ ⋮ \\ \begin{array}{cccccc}1& -3& 0& -a& |& -1\\ 0& 0& 1& 0& |& 0\\ 0& 0& a& a& |& 0\end{array}\begin{array}{c}\left(1\right)\\ (2\text{'})\\ (3\text{'})\end{array} \\ (3\text{'}\text{'})=(3\text{'})-a(2\text{'}) \\ \begin{array}{c}\\ (-)\\ \end{array}\begin{array}{cccccc}0& 0& a& a& |& 0\\ 0& 0& a& 0& |& 0\\ 0& 0& 0& a& |& 0\end{array} \\ ⋮ \\ \begin{array}{cccccc}1& -3& 0& -a& |& -1\\ 0& 0& 1& 0& |& 0\\ 0& 0& 0& a& |& 0\end{array}\begin{array}{c}\left(1\right)\\ (2\text{'})\\ (3\text{'}\text{'})\end{array} \\ \begin{array}{cccccc}p& -3q& & -as& =& -1\\ & & r& & =& 0\\ & & & as& =& 0\end{array} \end{gathered}$$

r=0 vet vi direkt. 

Lösning 1:

a=0 ger 

$$\begin{gathered} \begin{array}{cccccc}p& -3q& & 0& =& -1\\ & & r& & =& 0\\ & & & 0& =& 0\end{array} \\ s blir parameter z_1 \\ q blir parameter z_2 \\ \left(\begin{array}{c}p\\ q\\ r\\ s\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}3z_2-1\\ z_2\\ 0\\ z_1 \end{array}\right) \end{gathered}$$

Lösning 2:

Tillbaka till:

$\begin{array}{cccccc}p& -3q& & -as& =& -1\\ & & r& & =& 0\\ & & & as& =& 0\end{array}$

a /= 0 ger:

$$\begin{gathered} \begin{array}{cccccc}p& -3q& & -as& =& -1\\ & & r& & =& 0\\ & & & s& =& 0\end{array} \\ r,s=0 \\ q blir parameter z_1 vilket ger \\ p=3z_1-1 \end{gathered}$$

Test av lösningar:

a=0 ger utgångspunkten

$\begin{array}{cccccc}1& -3& 0& 0& |& -1\\ -2& 6& 1& 0& |& 2\\ 3& -9& 0& 0& |& -3\end{array}$

$$\begin{gathered} \left(\begin{array}{ccc}1& -3& 0\\ -2& 6& 1\\ 3& -9& 0\end{array}\right)\left(\begin{array}{c}p\\ q\\ r\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}-1\\ 2\\ -3\end{array}\right) \\ lösning: \\ \left(\begin{array}{c}p\\ q\\ r\\ s\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}3z_2-1\\ z_2\\ 0\\ z_1 \end{array}\right) \\ \left(\begin{array}{c}p\\ q\\ r\\ s\end{array}\right)->\left(\begin{array}{c}p\\ q\\ r\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}3z_2-1\\ z_2\\ 0\end{array}\right) \\ \left(\begin{array}{ccc}1& -3& 0\\ -2& 6& 1\\ 3& -9& 0\end{array}\right)\left(\begin{array}{c}3z_2-1\\ z_2\\ 0\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}3z_2-1-3z_2\\ -6z_2+2+6z_2\\ 9z_2-3-9z_2\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}-1\\ 2\\ -3\end{array}\right) \\ Det stämde!!! \end{gathered}$$

a /= 0 ger utgångspunkten

$$\begin{gathered} \begin{array}{cccccc}p& -3q& & -as& =& -1\\ -2p& +6q& +r& +3as& =& 2\\ 3p& -9q& +ar& -2as& =& -3\end{array} \\ \left(\begin{array}{cccc}1& -3& 0& -a\\ -2& 6& 1& 3a\\ 3& -9& a& -2a\end{array}\right)\left(\begin{array}{c}p\\ q\\ r\\ s\end{array}\right) \\ p=3z_1-1 \\ lösningar: \\ \left(\begin{array}{c}p\\ q\\ r\\ s\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}3z_1-1\\ z_1\\ 0\\ 0\end{array}\right) \\ \left(\begin{array}{cccc}1& -3& 0& -a\\ -2& 6& 1& 3a\\ 3& -9& a& -2a\end{array}\right)\left(\begin{array}{c}3z_1-1\\ z_1\\ 0\\ 0\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}3z_1-1-3z_1\\ -6z_1+2+6z_1\\ 9z_1-3-9z_1\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}-1\\ 2\\ -3\end{array}\right) \\ DET\hspace{0.17em}STÄMDE!!!! \end{gathered}$$

SVAR

a=0

$\left(\begin{array}{c}p\\ q\\ r\\ s\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}3z_2-1\\ z_2\\ 0\\ z_1 \end{array}\right)$

a/=0

$\left(\begin{array}{c}p\\ q\\ r\\ s\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}3z_1-1\\ z_1\\ 0\\ 0\end{array}\right)$

z1,z2 $\in \mathrm{ℝ}$

monsterinlägg

wow hahah tack ska läsa igenom det här nu

från den första matrisen till den andra matrisen så går a i rad 3 till 1 . Hur?

Partierna som innehåller (+)/(-) är bara uträkningar. De reducerade systemen representeras av de rader som har (1), (2), (3) efter sig.

Jag ser nu att det finns ett räknefel i första reduktionen.  2' ska vara 0 0 1 a | 0 , jag har råkat skriva 0 0 1 0 | 0. Detta påverkar tyvärr det sista systemets utseende.

Men principen i lösningen är den samma.

Här är ett nytt försök:

$$\begin{gathered} \begin{array}{cccccc}1& -3& 0& -a& |& -1\\ -2& 6& 1& 3a& |& 2\\ 3& -9& a& -2a& |& -3\end{array} \\ ⋮ \\ \begin{array}{cccccc}1& -3& 0& -a& |& -1\\ 0& 0& 1& a& |& 0\\ 3& -9& a& -2a& |& -3\end{array} \\ ⋮ \\ \begin{array}{cccccc}1& -3& 0& -a& |& -1\\ 0& 0& 1& a& |& 0\\ 0& 0& a& a& |& 0\end{array} \\ ⋮ \\ \begin{array}{cccccc}1& -3& 0& -a& |& -1\\ 0& 0& 1& a& |& 0\\ 0& 0& 0& a-a^2& |& 0\end{array} \\ ⋮ \\ \begin{array}{cccccc}p& -3q& & -as& =& -1\\ & & r& +as& =& 0\\ & & & a(1-a)s& =& 0\end{array} \end{gathered}$$

Reducera ner systemet själv så att vi kan jämföra resultat.

Så i och med det här vet jag att ekvationssytemet har lösningar när dom reella värdena på a är 0 och 1?

Den ursprungliga frågan var dock:

$Lös det linjära ekvationssystemet för alla värden på a\in \mathrm{ℝ}$

ska jag stoppa in 0 och 1 i $a$ och lösa respektive ekvationssystem nu i så fall?

never mind, jag lyckades lösa det. Tack för fantastisk hjälp!!