Ekvationsystem

Det ser ut som att du har någon hum om procedurerna.

Jag får också att arean är A = 5x²/(2x–4)

Nu behöver vi derivera en kvot. Om f(x) = T/N så är

f’ = (N*T’ – T*N’) / N²

Vi får att A’ = [(2x—4)10x – 5x²(2)] / (2x–4)²

Nämnaren är en kvadrat som alltid är positiv (x mäste ju vara större än 2 om det ska bli en triangel), så det räcker att studera täljarens tecken.

20x² – 40x – 10x² = 10x(x – 4)

Vi är bara intresserade av x > 2 så enda nollstället är för x = 4. För x > 4 är derivatan positiv och tecknet byts för x = 4. Alltså har triangeln minimal area för x = 4. Det ger att y = 10, så minimal area är 40/2 = 20.

Kunde du inte derivatan av en kvot så var uppgiften knepig. Men jag kan lära dig en annan sak som inte står i böckerna och kanske inte alla mattelärare vet:

En rät linje skär x-axeln i (a, 0) och y-axeln i (0, b). Då är linjens ekvation

x/a + y/b = 1

Praktiskt om du har en linje utritad och vill bestämma ekvationen. Inget trassel med riktningskoefficienter, bara läsa av på axlarna. 

I denna uppgift fick vi (4, 0) och (0, 10). Ekvationen är x/4 + y/10 = 1

^{Detta kallas räta linjen på interceptform.}

Men har man inte gått igenom derivatan av en kvot så är uppgiften svår. I så fall kan man tänka sig att man delar upp triangeln i tre områden, dels en rektangel,, dels en triangel ovanpå rektangeln, dels en triangel till höger om rektangeln. Man kan argumentera för att arean har minimum när de två trianglarna är kongruenta, men jag tror knappast det var avsikten.

Jag skulle vilja säga med att det är en snygg lösning hittils och bra att du har kunnat ta fram de uttrycket geometrisk (likformiga trianglar, eller att "lutningen är detsamma"). Däremot är det man får ut från lösningen bredden på triangeln, alltså det x-värde där linjen skär x-axeln.

Vi söker ekvationen till en linje. Samtliga linjer kan uttryckas på formen:

$y-y_0=k(x-x_0) \text{där} (x_0,y_0) \text{är en punkt som linjen går genom och} k \text{är linjens lutning.}$

Eftersom vi vet en punkt som linjen går genom, återstår det bara att hitta linjens lutning.

$y-5=k(x-2) \Rightarrow y=f\left(x\right)=k(x-2)+5$

Vi söker höjden och bredden på triangeln. Höjden h är det värde som uppfyller uttrycket f(0) och bredden b är det värde som satisfierar ekvationen f(x)=0.

$\left\{\begin{array}{l}h: y=f\left(0\right)=k(0-2)+5=5-2k\\ b: f\left(x\right)=0 \Rightarrow k(x-2)+5=0\Rightarrow x=2-\frac{5}{k}\end{array}\right.$

Arean på en triangel är bh/2. Då kan arean som en funktion av variabeln k uttryckas:

$A\left(k\right)=\frac{bh}{2}=\frac{(2-{\displaystyle \frac{5}{k}})(5-2k)}{2}=10-\frac{25}{2x}-2x$

vilket kan deriveras med enbart potensregeln.

Ja, det var ju ett sätt att slippa derivera enligt kvotregeln. 

Men du har A(k) så uttrycket för bh/2 ska ges med k som variabel, inte x väl? Så man får fram det k-värde som ger minst area. Eller?

Marilyn skrev:

Ja, det var ju ett sätt att slippa derivera enligt kvotregeln. 

Men du har A(k) så uttrycket för bh/2 ska ges med k som variabel, inte x väl? Så man får fram det k-värde som ger minst area. Eller?

Oj, du har rätt. Det ska ges med k som variabel (dvs, det ska stå 10-25/2k-2k). Mitt fel!

Yes, man får då fram det k-värdet som ger minst area.