Ekvationssystem som saknar lösning
Skulle kunna behöva hjälp med följande uppgift:
"Nedanstående ekvationssystem saknar lösning. Bestäm konstanten a"
2y - 12x - 6a = 0
y + 3x = (a^2)x + 9
Utifrån detta har jag skapat följande ekvationssystem med tre ekv:
2y -12x - 6a = 0 (1)
y+3x = (a^2)x + 9 (2)
y + 3x = 0 (3)
(a^2)x + 9 = 0 (4)
Från den trejde ekvationen får jag y = -3x
Då sätter jag in detta i ekvation 1 och 2:
2(-3x)-12x - 6a = 0 = -18x - 6a
(a^2)x + 9 = 0
Hur går jag vidare?
Ekvation 1 och 2 stämmer, men varifrån får du ekvation 3 och 4?
Gör istället så här:
Uttryck ekvation 1 på formen y = k1x+m1 och ekvation 2 på formen y = k2x+m2.
Du har då två ekvationer för två räta linjer.
Att ekvationssystemet saknar lösning innebär att dessa två linjer aldrig skär varandra, dvs de saknar gemensamma punkter.
y = 6x+3a
y = (a^2)x -3x + 9
Saknar lösning ger att k1 = k1, men hur får jag ut a?
Första ekvationen y = 6x+3a ger dig att k1 = 6 och att m1 = 3a.
Andra ekvationen kan skrivas y = (a2-3)x+9, vilket ger dig att k2 = a2-3 och att m2 = 9.
Vet du vad som ska gälla för k1, k1, m1 och m2 för att linjerna ska sakna gemensamma punkter?
(a^2-3)=6, a=-3. Koefficienten ska bli detsamma alltså. Kan inte vara 3 så det blir oändligt med lösningar då.
Varför kan inte det bli 3? Varför kan det både bli 3 och -3 om båda upphöjs, dvs (a^2-3) = 6 ?
Ekvationen a2-3=6 har de två lösningarna a=3 och a=-3.
Båda dessa värden på a gör att riktningskoefficienterna k1 och k2 är lika, dvs att linjerna blir parallella.
Men för att ekvationssystemet ska sakna lösningar så räcker det inte med att k1 =k2.
Det krävs att ytterligare ett villkor är uppfyllt. Ett villkor som har med m-värdena att göra.
Kan du komma på vilket jag menar?
m-värdena måste väl vara olika, om de är lika kommer det att finnas oändligt med lösningar.
Om a = 3 kommer båda m-värdena vara lika, vilket istället ger oändliga lösningar. Jag fattar nu, tack så mycket!
Ja det stämmer.