Ekvationssystem som har en enda lösning

Tänk såhär, vi har två linjer, $l_1$ och $l_2$, hur ska dessa linjer se ut för att ha oändligt med lösningar? Hur ska de se ut om det endast ska finnas en lösning? 

Jag har gjort om ekvationerna till y=Kx+m men för mig tar det stopp eftersom jag har en tredje variabel alltså a. Jag får fram en lutning på båda ekvationerna 6/a X och -2x. Är detta rätt tänk?

Hej och välkommen till Pluggakuten!

Nästan. Om du skriver båda ekvationerna på formen $y=kx+m$ så får du

$y=2x-\frac{5}{2}$ (dvs $k=2$)

och

$y=\frac{6}{a}x-\frac{1,5}{a}$ (dvs $k=\frac{6}{a}$)

Första linjen har alltså lutningen $2$ och den andra linjen har lutningen $\frac{6}{a}$.

För att ekvationssystemet ska ha en enda lösning så måste det gälla att dessa två linjer skär varandra i en enda punkt, och det gör de om lutningarna är olika.

Du kan läsa mer om antal lösningar till linjära ekvationssystem i slutet av det här avsnittet.

Kommer du vidare då?

Du tar fram k-värdet för 4x -2y = 5 genom att göra om det till y = kx +m     Då får du fram ett k-värde utan något x utan en konstant. Det som står före x i kx  Då har du k₁ 

Nu ska du ta fram ett förhållande med k₁ och k₂  så det bara finns en lösning d.v.s. de ska inte vara parallella utan korsa varandra d.v.s. vara vinkelräta för då finna bara en lösning. 

Ta fram k₂ och sen ta k₁*k₂ vad ska de vara om de ska vara vinkelräta. Så får du ut vad a ska vara. 

Ursäkta det var fel de behöver inte korsa varandra utan bara inte vara parallella. Se Ynges lösning ovan.

Det finns tre fall,

Fall 1:
antingen har linjerna samma lutning och skär y-axeln på samma ställe och då i princip är samma linje, detta ger oändligt med lösningar.

Fall 2:
linjerna är parallela och skär aldrig varanda, detta ger att systemet saknar lösning.

Fall 3: 
linjerna skär varandra en gång, detta ger en unik lösning.

Fall 1 kan vi direkt utesluta eftersom vi kan direkt se att m-värdet inte är densamma, det blir tydligare om du skriver det på formen $y=kx+m$, då återstår fall 1 och fall 2. Det betyder att du bara behöver hitta det värdet på parametern $a$ som uppfyller fall 2 eftersom när fall 2 ej är uppfyllt är alltid fall 3 uppfyllt. Vilket värde på parametern $a$ är linjerna parallela?

Linjerna måste inte nodvändigtvis vara vinkelräta för att det skall finnas en unik lösning, exempelvis, låt parametern $a=5$, då fås en enda unik lösning men $k_1 \cdot k_2 \neq -1$.

Tack för all hjälp! 

Jag förstår dock inte vad nästa steg är i denna uträkning nu när jag har båda k värdera behöver jag räkna ut skärningspunkten men där kommer just a in och gör det krångligt för mig.

Du behöver bara hitta när linjerna är parallela, bestäm a så att dina linjer är parallela därför att när linjerna inte är parallela finns endast en unik lösning, se mitt svar ovan. Låt oss säga att linjerna är endast parallela då a=6, dåe har vi att för $a \neq 6$ så har vi en unik lösning.