Ekvationssystem produktion kol/elektricitet

Blir det några geometriska summor?

Det här var en klurig uppgift.

En liten omvandling till julsaga kan väl passa idag.

”Vi är sju små dvärgar som har en liten fabrik i de stora skogarna vid bergen.
I berget har vi en kolgruva och i vår fabrik paketerar vi kol, men vi har också en liten turbingenerator som vi driver med ånga. Ångan får vi genom att elda med kol. Elektriciteten har vi till belysning och maskiner och överskottet av el säljer vi.

Här om dagen så fick jag som de kallar för Toker i uppgift av Kloker att räkna ut följande:
Vi ska leverera 1350 enheter kol och 1200 enheter el innan jul. Hur mycket kol och el behöver vi då?

Hur ska jag veta det frågade jag Kloker. Det står på lappen som ligger på skrivbordet sa han.
Jag läste på lappen ” För produktionen av en enhet kol förbrukas 0,1 enheter el och för produktionen av en enhet el förbrukas 0,1 enheter kol och 0,1 enheter el.” När han gick med de andra till gruvan mumlade han något om geometriska summor.

Nu har jag suttit i två dagar och räknat fram och tillbaka, men kommer ingen vart.
Någon som kallar sig Kanelbullen (kan det vara Glader 😊)har räknat före mig på ett papper, x = 1350 y vilket jag tolkar som att det går åt 135 enheter el för att tillverka 1350 enheter kol.
En annan anteckning säger y = 1200 + 0,1x + 0,1y det medför att y = 1333,33 + 0,11x.
Den uträkningen förstår jag inte.
Sen har vi två tabeller som Kanelbullen också skrivit där delar går att förstå, men det är ändå svårt att följa hela tankegången.

Mina uträkningar:
Vi har nu en enhet kol i lager. Om vi använder den får vi 10 enheter el, men en försvinner i produktionen. Då har vi 9 enheter el som vi då använder för att få fram 9/0,1 = 90 enheter kol.
Av de 90 enheterna använder vi en enhet och har då 9 nya enheter el.
Om vi upprepar processen 16 gånger så har vi 1424 kol och får 1424 – 1350 = 74 kol över att tillverka el av, men det blir bara 740 enheter el minus 74, vilket ger 666 enheter el.

Vi skulle behöva 1200 =y – (y * 0,1) det ger y = 1333,33 enheter el och då förstår jag plötsligt vad 1333,33 från Kanelbullens anteckning kom ifrån, men ändå inte riktigt hela ekvationen y = 1333,33 + 0,11x.

Jag föreslår att vi helt enkelt gör 17 omgångar och får 17 gånger 89 = 1513 kol och har 1513 – 1350 = 163 kol att göra el för. Det blir 1630 -163 = 1467 enheter el.

Då borde vi klara oss.”

Kan någon hjälpa Glader (Kanelbullen) och mig (Toker) att få fram lite vettigare beräkningsformler?

Vilken underbar saga! Tack ConnyN.

Uppgiften är hämtad ur boken Grundläggande matematik för samhällsvetare och ekonomer av Jonas Månsson. Den finns med i kapitlet om linjära ekvationssystem.

På a)-uppgiften är svaret att villkoret för y ovan är 

y = 1200 + 0,1x + 0,1y  vilket är ekvivalent med 

y = 1333,33 + 0,11x

(Men det är ju inte helt exakt utan 1333,33 är ett avrundat decimaltal enligt mig.)

På b)-uppgiften är svaret x = 1500 och y = 1500 enligt facit. 

Om man formulerade problemet som en geometrisk summa för antal enheter kol respektive antal enheter el som behövs, skulle väl i så fall gränsvärdet i den oändliga geometriska serien bli 1500 i båda fallen?

Jag har inte kunnat sätta upp några summaformler för dessa båda beräkningar, men ja, det kanske man kan göra om man är skicklig 😊
Vilken är kvoten i respektive fall?

Vilken är första termen och ”supersista”  termen?

Det behöver man veta för att sätta in värden i formeln för en geometrisk summa. 
Det var intressant att läsa ConnyN:s resonemang för han börjar i motsatt ända av problemet mot vad jag gjort. Alltså att man har har från början en enhet kol i lager.

Jag ska förklara hur jag tänkt med min handanteckning, och jag hoppas liksom ConnyN att någon vill hjälpa Toker och Glader/Kanelbullen med detta jul-bekymmer!

Dela upp varje energislag i två serier: För kol dels 1350 plus summan  13,5 + 1,35 + 0,135 + ... och dels 120 + 12+ 1,2 + ... och på motsvarande sätt för elen.

Först en tabell

$\begin{array}{cccccc}kol1& kol2& el1& el2& & \\ 1350& & & 1250& & \\ & 1250/9& 1350/10& & & \\ 1350/10/9& & & 1250/9/10& & \\ & 1250/9/10/9& 1350/10/9/10& & & \\ 1350/10/9/10/9& & & 1250/9/10/9/10& & \\ & 1250/9/10/9/10/9& 1350/10/9/10/9/10& & & \\ & & & & & \\ & & & & & \\ & & & & & \\ & & & & & \\ & & & & & \end{array}$

I fyra kolumner ser jag underlag för fyra geometriska summor, där kvoten mellan varje tal är 1/90

Tack alla för hjälpen.

Kanelbullen skrev:

Tack alla för hjälpen.

Jag har också läst svaren, men har inte hunnit fördjupa mig i julbrådskan.

Det var också väldigt bra det du skrev ned och hur du hade tänkt.

Jag får inte riktigt ihop det som gavs i förutsättningarna. Har man inte blandat ihop en del?
Ibland verkar det som att man menar att y=1200, men sedan anger man att x=1350y. Så kan det väl inte vara?
Men som sagt jag behöver fördjupa mig för att förstå.

God Jul till er som deltagit och gärna några ytterligare ledtrådar önskar jag om det är möjligt!

Affe Jkpg skrev:

Först en tabell

$\begin{array}{cccccc}kol1& kol2& el1& el2& & \\ 1350& & & 1250& & \\ & 1250/9& 1350/10& & & \\ 1350/10/9& & & 1250/9/10& & \\ & 1250/9/10/9& 1350/10/9/10& & & \\ 1350/10/9/10/9& & & 1250/9/10/9/10& & \\ & 1250/9/10/9/10/9& 1350/10/9/10/9/10& & & \\ & & & & & \\ & & & & & \\ & & & & & \\ & & & & & \\ & & & & & \end{array}$

I fyra kolumner ser jag underlag för fyra geometriska summor, där kvoten mellan varje tal är 1/90

$$\begin{gathered} \underset{n\to \infty }{\lim }\left(\sum _{m=0}^{n}a{k}^m\right)=\underset{n\to \infty }{\lim }\left(a\frac{(1-k^n)}{1-k}\right)=a\frac{1}{1-{\displaystyle \frac{1}{90}}}=a\frac{90}{89} \\ Kol: \frac{90}{89}(1350+\frac{1250}{9})\approx 1506 \\ El: \frac{90}{89}(1250 + \frac{1350}{10})\approx 1401 \end{gathered}$$