Ekvationssystem med tre variabler och exponenter

Nu har jag stött på ett lite svårare (för mig) ekvationssystem att lösa:

$\{\begin{cases} x = 2 y = 4 z \\ x^{2} = y^{2} + z^{2} = 21 \end{cases}$

Jag vill använda mig av insättningsmetoden, men vet inte riktigt var jag ska börja. Jag vet från den övre ekvationen att x=2y och om jag sätter in det i den nedre får vi att:

$(2 y)^{2} = y^{2} + z^{2} = 21$

Men så har vi ju z att ta med också.

Har jag börjat rätt och hur ska jag gå vidare? Ställ gärna lite frågor till mig (inte alltför svåra för jag tror inte att jag är något geni) så att jag får klura fram svaret själv.

Har du verkligen skrivit av ekvationssystemet korrekt? I sådant fall: titta på den nedre ekvationen, vad kan du göra för att få ut ett värde på x?

Andra ekvationen säger att

16*z^2 = 4*z^2 + 1*z^2

Det stämmer inte, eftersom 16 inte är lika med 5.

Bubo skrev:
Andra ekvationen säger att
16*z^2 = 4*z^2 + 1*z^2
Det stämmer inte, eftersom 16 inte är lika med 5.

Det kan dock stämma om z = 0. Men i så fall ger första ekvationen att x = 0 och y = 0, och då kan inte andra ekvationen bli 21.

Så jag håller med om att något är fel med ekvationssystemet som det är skrivet i det första inlägget.

Nej, jag har INTE skrivit av korrekt. Så här ska det vara:

$\{\begin{cases} x = 2 y = 4 z \\ x^{2} + y^{2} + z^{2} = 21 \end{cases}$

Det var ett plustecken i den andra ekvationen som jag felaktig hade fått till ett likhetstecken.

Så då får vi börja om!

Hej

Du vet att $x = 4 z$ och $y = 2 z$ vilket ger dig ekvationen $x^{2} + y^{2} + z^{2} = 21 \Leftrightarrow (4 z)^{2} + (2 z)^{2} + z^{2} = 21$

Kommer du vidare?

Ok! Då kan jag lösa ut z:

$16 z^{2} + 4 z^{2} + z^{2} = 21$

$21 z^{2} = 21 \Leftrightarrow z^{2} = 1 \Leftrightarrow z = \pm \sqrt{1} = \pm 1$

$z_{1} = 1$

$z_{2} = - 1$

Vilka värden får då x och y?

$x_{1} = 4 \cdot 1 = 4$

$x_{2} = 4 \cdot (- 1) = - 4$

$y_{1} = 2 \cdot 1 = 2$

$y_{2} = 2 \cdot (- 1) = - 2$

$x = 4, y = 2 o c h z = 1 e l l e r x = - 4, y = - 2 o c h z = - 1$

Lisa Mårtensson skrev:
$x_{1} = 4 \cdot 1 = 4$
$x_{2} = 4 \cdot (- 1) = - 4$

$y_{1} = 2 \cdot 1 = 2$
$y_{2} = 2 \cdot (- 1) = - 2$

$x = 4, y = 2 o c h z = 1 e l l e r x = - 4, y = - 2 o c h z = - 1$

OK bra.

Vet du hur du ska göra för att kontrollera ditt svar?

Ja, det vet jag. Jag sätter in antingen de positiva värdena för x, y, z eller de negativa värdena för desamma i ekvationerna och testar om det stämmer.

Exempel:

x=4, y=2, z=1 sätts in i den övre ekvationen vilket ger:

4=2*2=4*1 Stämmer bra!

x=-4, y=-2, z=-1 sätts in i den nedre ekvationen vilket ger:

$(- 4)^{2} + (- 2)^{2} + (- 1)^{2} = 21$ Stämmer också bra!

Lisa Mårtensson skrev:
Ja, det vet jag. Jag sätter in antingen de positiva värdena för x, y, z eller de negativa värdena för desamma i ekvationerna och testar om det stämmer.
Exempel:
x=4, y=2, z=1 sätts in i den övre ekvationen vilket ger:
4=2*2=4*1 Stämmer bra!

x=-4, y=-2, z=-1 sätts in i den nedre ekvationen vilket ger:
$(- 4)^{2} + (- 2)^{2} + (- 1)^{2} = 21$ Stämmer också bra!

Bra. Det är alltså samma tillvägagångssätt oavsett hur ekvationen/erna ser ut.

Svara

Visa senaste svar