Ekvationssystem med tre variabler

Krissehiss skrev :

Hej!

Jag vet inte hur jag stegvis ska gå tillväga för att lösa följande ekvationssystem:

$\left\{\begin{array}{l}x=2y=4z\\ X^2+y^2+z^2=21\end{array}\right.$

Jag noterar att x är dubbelt så stor som y och fyra gånger större än z, men efter det tar det stopp.

Problemet är taget ur Matematik M4, Tankenöt 2.

Hej och välkommen till Pluggakuten!

Eftersom x = 4z och y = 2z så kan du byta ut x mot 4z och y mot 2z i andra ekvationen. Det blir då en vanlig andragradsekvation med z som obekant.

Yngve skrev :

Krissehiss skrev :

Hej!

Jag vet inte hur jag stegvis ska gå tillväga för att lösa följande ekvationssystem:

$\left\{\begin{array}{l}x=2y=4z\\ X^2+y^2+z^2=21\end{array}\right.$

Jag noterar att x är dubbelt så stor som y och fyra gånger större än z, men efter det tar det stopp.

Problemet är taget ur Matematik M4, Tankenöt 2.

Hej och välkommen till Pluggakuten!

Eftersom x = 4z och y = 2z så kan du byta ut x mot 4z och y mot 2z i andra ekvationen. Det blir då en vanlig andragradsekvation med z som obekant.

Hej och tack! Jag får inte din lösning att fungera med tanke på att z ska bli 1. Gör jag något galet?:

$$\begin{gathered} 4z^2+2z^2+z^2=21 \\ 7z^2=21 \\ {z}^2=3 \\ z\approx 1.73 \end{gathered}$$

Här är en lösning där z får rätt värde:

$$\begin{gathered} \frac{x}{2}=y \\ \frac{x}{4}=z \\ {x}^2+{\left(\frac{x}{2}\right)}^2+{\left(\frac{x}{4}\right)}^2=21 \\ \frac{16x^2}{16}+\frac{4x^2}{16}+\frac{x^2}{16}=21 \\ \frac{21x^2}{16}=21 \\ x=4 \end{gathered}$$

(4z)^2, inte 4z^2.

(2z)^2, inte 2z^2

Krissehiss skrev :

Hej och tack! Jag får inte din lösning att fungera med tanke på att z ska bli 1. Gör jag något galet?:

$$\begin{gathered} 4z^2+2z^2+z^2=21 \\ 7z^2=21 \\ {z}^2=3 \\ z\approx 1.73 \end{gathered}$$

Ja.

Du missar att om $x=4z$ så är $x^2=(4z)^2=4^2\cdot z^2=16z^2$.

Gör på samma sätt när du ersätter $y$ med $2z$.

Bubo skrev :

(4z)^2, inte 4z^2.

(2z)^2, inte 2z^2

Tack det gick bättre:

$$\begin{gathered} {x}^2+(4z{)}^2+(2z{)}^2=21 \\ {x}^2+16z^2+4z^2=21 \\ 21z^2=21 \\ z=1 \end{gathered}$$

Som en bonusfråga undrar jag varför följande uträkning inte ger rätt svar:

$$\begin{gathered} \sqrt{{\left(\frac{x}{1}\right)}^2+{\left(\frac{x}{2}\right)}^2+{\left(\frac{x}{4}\right)}^2}=\sqrt{21} \\ \frac{4x}{4}+\frac{2x}{4}+\frac{x}{4}=\sqrt{21} \\ x\approx 2.62 \end{gathered}$$

Krissehiss skrev :

Som en bonusfråga undrar jag varför följande uträkning inte ger rätt svar:

$$\begin{gathered} \sqrt{{\left(\frac{x}{1}\right)}^2+{\left(\frac{x}{2}\right)}^2+{\left(\frac{x}{4}\right)}^2}=\sqrt{21} \\ \frac{4x}{4}+\frac{2x}{4}+\frac{x}{4}=\sqrt{21} \\ x\approx 2.62 \end{gathered}$$

Det är oklart vad du har gjort mellan första och andra raden. Skriv ut alla mellansteg.

---------

Om du ersätter y med x/2 och z med x/4 så får du ekvationen 

$x^2+(x/2)^2+(x/4)^2=21$

$x^2+x^2/4+x^2/16=21$

$(16x^2+4x^2+x^2)/16=21$

$21x^2/16=21$

$x^2/16=1$

$x^2=16$

$x=\pm 4$

Därför att $\sqrt{a^2+b^2+c^2}$ inte är lika med a+b+c

Bubo skrev :

Därför att $\sqrt{a^2+b^2+c^2}$ inte är lika med a+b+c

Vad synd! För $\sqrt{a^2} =a$ är väl sant?

Bara om a är icke-negativt.