Ekvationssystem med tre ekvationer och två obekanta

Förmodligen kommer inte alla tre linjerna att korsa varandra i samma punkt.

Så det handlar alltså om vart alla tre linjer är lika med varandra? Är det vad en lösning inom ett ekvationssystem definieras som? För man har ju diverse skärningspunkter också där två linjer är lika med varandra, vad gäller för dessa skärningspunkter då om de inte är lösningar?

Om det är två ekvationer räcker det att två linjer sammanfaller i en punkt. Om man har tre obekanta och tre ekvationer kan man säga att tre plan sammanfaller i en punkt. Två plan kommer att sammanfalla i en linje.

Det verkar som att du gör antalet skärningspunkter mellan tre linjer till antalet lösningar av ekvationssystemet. Men finns fler eller färre skärningspunkter än en saknas lösning. I ditt exempel med tre skärningspunkter är varje punkt lösning till två av ekvationerna. Men lösningen av ett ekvationssystem måste vara lösning till alla ekvationerna, dvs att det bara finns en skärningspunkt. Lösningen är ju det x-värde och det y-värde som ges av punkten.

Louis skrev:

Det verkar som att du gör antalet skärningspunkter mellan tre linjer till antalet lösningar av ekvationssystemet. Men finns fler eller färre skärningspunkter än en saknas lösning. I ditt exempel med tre skärningspunkter är varje punkt lösning till två av ekvationerna. Men lösningen av ett ekvationssystem måste vara lösning till alla ekvationerna, dvs att det bara finns en skärningspunkt. Lösningen är ju det x-värde och det y-värde som ges av punkten.

Så alltså där alla tre linjer är lika med varandra? Ok, då är det mer förståeligt. 

Vad kallar man då dessa skärningspunkter för något? Jag tänker om jag stöter på det konceptet i en fråga någon gång, eller vill göra min egna uppgift, så skulle det vara bra att veta. Kallar man de bara för individuella skärningspunkter eller något liknande?

Om vi begränsar oss till två obekanta x och y och vi söker lösningar i $R_2$, dvs en tvådimensionell lösning så kan samma sak beskrivas med andra ord på följande sätt.

===============

1. Lösningen/-arna till en ekvation är den/de punkter som gör ekvationen till ett sant påstående.

Exempel:

• Lösningen till ekvationen 2x = 4 är punkterna (2, y), där y är ett godtyckligt reellt tal. Lösningarna är alla de punkter som ligger på linjen x = 2. Det finns alltså oändligt många lösningar.
• Lösningarna till ekvationen 4x = y är punkterna (x, 4x), där x är ett godtyckligt reellt tal. Lösningarna är alla de punkter som ligger på linjen y = 4x. Det finns alltså oändligt många lösningar.

================

2. Lösningen/-arna till ett ekvationssystem bestående av två ekvationer är den/de punkter som gör båda ekvationerna till sanna påståenden.

Exempel:

• Lösningen till ekvationssystemet y = 2x och y = 4 är punkten (2, 4). Lösningarna är alla de punkter som ligger både på linjen y = 2x och på linjen y = 4. Det finns alltså en lösning.
• Ekvationssystemet y = 2x och y = 2x + 3 saknar lösningar eftersom det inte finns en punkt som gör båda ekvationerna till sanna påståenden. Det finns nämligen ingen punkt som ligger på båda linjerna.
• Lösningarna till ekvationssystemet y = 2x och 2y = 4x är punkterna (x, 2x), där x är ett godtyckligt reellt tal. Lösningarna är alla de punkter som ligger både på linjen y = 2x och på linjen 2y = 4x. Det finns alltså oändligt många lösningar.

================

3. Lösningen/-arna till ett ekvationssystem bestående av tre ekvationer är den/de punkter som gör alla tre ekvationerna till sanna påståenden.

Exempel:

• Lösningen till ekvationssystemet y = 2x, y = 4 och x = 2 är punkten (2, 4). Lösningarna är alla de punkter som ligger både på linjen y = 2x, på linjen y = 4 och på linjen x = 2. Det finns alltså en lösning.
• Ekvationssystemet y = 2x, y = 2x + 3 och x = 2 saknar lösningar eftersom det inte finns en punkt som gör alla tre ekvationerna till sanna påståenden. Det finns anämligen ingen punkt som ligger på alla tre linjerna.
• Lösningarna till ekvationssystemet y = 2x, 2y = 4x och 3y = 6x är punkterna (x, 2x), där x är ett godtyckligt reellt tal. Lösningarna är alla de punkter som ligger både på linjen y = 2x, på linjen 2y = 4x och på linjen 3y = 6x. Det finns alltså oändligt många lösningar.

SuperCrazyFlipper skrev:

Vad kallar man då dessa skärningspunkter för något? Jag tänker om jag stöter på det konceptet i en fråga någon gång, eller vill göra min egna uppgift, så skulle det vara bra att veta. Kallar man de bara för individuella skärningspunkter eller något liknande?

Om du representerar ekvationerna som räta linjer i ett koordinatsystem.så kallas skärningspunkterna helt enkelt bara för "skärningspunkter".

Yngve skrev:

Om vi begränsar oss till två obekanta x och y och vi söker lösningar i $R_2$, dvs en tvådimensionell lösning så kan samma sak beskrivas med andra ord på följande sätt.

===============

1. Lösningen/-arna till en ekvation är den/de punkter som gör ekvationen till ett sant påstående.

Exempel:

• Lösningen till ekvationen 2x = 4 är punkterna (2, y), där y är ett godtyckligt reellt tal. Lösningarna är alla de punkter som ligger på linjen x = 2. Det finns alltså oändligt många lösningar.
• Lösningarna till ekvationen 4x = y är punkterna (x, 4x), där x är ett godtyckligt reellt tal. Lösningarna är alla de punkter som ligger på linjen y = 4x. Det finns alltså oändligt många lösningar.

================

2. Lösningen/-arna till ett ekvationssystem bestående av två ekvationer är den/de punkter som gör båda ekvationerna till sanna påståenden.

Exempel:

• Lösningen till ekvationssystemet y = 2x och y = 4 är punkten (2, 4). Lösningarna är alla de punkter som ligger både på linjen y = 2x och på linjen y = 4. Det finns alltså en lösning.
• Ekvationssystemet y = 2x och y = 2x + 3 saknar lösningar eftersom det inte finns en punkt som gör båda ekvationerna till sanna påståenden. Det finns nämligen ingen punkt som ligger på båda linjerna.
• Lösningarna till ekvationssystemet y = 2x och 2y = 4x är punkterna (x, 2x), där x är ett godtyckligt reellt tal. Lösningarna är alla de punkter som ligger både på linjen y = 2x och på linjen 2y = 4x. Det finns alltså oändligt många lösningar.

================

3. Lösningen/-arna till ett ekvationssystem bestående av tre ekvationer är den/de punkter som gör alla tre ekvationerna till sanna påståenden.

Exempel:

• Lösningen till ekvationssystemet y = 2x, y = 4 och x = 2 är punkten (2, 4). Lösningarna är alla de punkter som ligger både på linjen y = 2x, på linjen y = 4 och på linjen x = 2. Det finns alltså en lösning.
• Ekvationssystemet y = 2x, y = 2x + 3 och x = 2 saknar lösningar eftersom det inte finns en punkt som gör alla tre ekvationerna till sanna påståenden. Det finns anämligen ingen punkt som ligger på alla tre linjerna.
• Lösningarna till ekvationssystemet y = 2x, 2y = 4x och 3y = 6x är punkterna (x, 2x), där x är ett godtyckligt reellt tal. Lösningarna är alla de punkter som ligger både på linjen y = 2x, på linjen 2y = 4x och på linjen 3y = 6x. Det finns alltså oändligt många lösningar.

Tack, det gjorde det klarare! Så man kan säga att L1=L2=L3 för ett specifikt värde på x och y?

SuperCrazyFlipper skrev:

Tack, det gjorde det klarare! Så man kan säga att L1=L2=L3 för ett specifikt värde på x och y?

Vad bra.

Nja, om du menar att L1, L2 och L3 är linjer så skulle t.ex. L1 = L2 betyda att linjerna L1 och L2 är identiska, dvs att de är samma linje.

Men om du istället pratar om punkter P på linjerna så kan du säga att om de tre linjerna L1, L2 och L3 skär varandra i en enda punkt P så innebär det att ekvationssystemets lösning är P.