Ekvationssystem med logaritmer

Bestäm de positiva heltalen x och y om

$\{\begin{cases} l g x + l g y = 1 \\ x \cdot l g (2 y) = 2 \end{cases}$

Jag har testat att använda substitutionsmetoden, både med x och y men har inte lyckats komma fram till ett svar.

När jag bröt ut x fick jag att $x = \frac{2}{l g (2 y)}$

Sen satte jag in det i den första ekvationen och fortsatte såhär:

$l g (\frac{2}{l g (2 y)}) + l g y = 1 \frac{2}{l g (2 y)} + y = 10$

men sen kommer jag inte längre. Jag testade också att sätta in uttrycket i den andra ekvationen men jag kom inte så mycket längre där heller.

Börja med att förenkla ekvationerna genom att använda lämpliga logaritmlagar.

Ture skrev:
Börja med att förenkla ekvationerna genom att använda lämpliga logaritmlagar.

Testade detta tidigare och den första blev $l g (x y) = 1$ och den andra $l g {(2 y)}^{x}$

Kan jag fortfarande försöka använda substitutionsmetoden här eller finns det ett bättre sätt att lösa det?

bra!, nu kan du exponentiera bägge led i bägge ekvationerna

Första ekvationen ger 10^lgxy = 10¹, så xy = 10. Lös ut x härifrån. Kommer du vidare?

Inte riktigt, inte mer än att x=10/y i alla fall

om du gör samma sak med bägge ekvationerna får du

xy= 10

10^{lg((2y)^x))} = 10² vilket förenklat blir

(2y)^x = 10²

Testade att sätta ihop ekvationerna, vet inte riktigt om det var helt rätt

jag skulle ha löst ur y istället ur ekv 1

y = 10/x

och satt in i ekv 2

(2*10/x)^x = 10²

Sen vet vi att x och y är positiva heltal, det stod i uppgiften, prova med några olika värden på x, hittar du något som passar?

Edit (Det går lika bra att göra som du gjorde, prova med några olika värden på y tills du hittar rätt)

Finns det alltså inget annat sätt att lösa uppgiften än att pröva sig fram?

numerisk går den att lösa,

men det går mycket fortare att prova sig fram

Ah okej, tack

Svara

Visa senaste svar