Ekvationssystem aX = b

Att b ligger i A's radrum betyder att b ligger i det vektorrum som spänns av A's radvektorer.

edit: Jag skrev om dimensionen av radrummet och kolonnrummet. Men det är inte vad frågan handlar om. Men det är bra att veta att radrummet och kolonnrummet för en matris har samma dimension, dimensionen kallas för rank. Se https://sv.wikipedia.org/wiki/Radrum för mer information.

Om A är t.ex:

1   2

3   4

2   1

Och vektor x består av:( 2   5)

Så blir ju b =  (12   26   9) om jag räknat rätt.

Jag tycker inte att b ser ut att kunna höra till As radrum. 

Raderna i A har bara 2 siffror men b har 3.

Däremot skulle ju b kunna vara en kolonn i A. 

Antalet siffror stämmer ju.

Men A består ju av två vektorer,

v1=(1,3,2) och v2=(2,4,1)

Vektorn b =(12,26,9) är inte en av de två veķtorerna i A.

Men enligt svaret på frågan så ska ju b tillhöra A?...

Hej!

• Matrisen $A$ har $n$ stycken rader och $m$ stycken kolonner, så att matrisen är av typ $n \times m$.
• För att produkten $Ax$ ska vara definierad måste vektorn $x$ vara av typen $m \times 1$ vilket ger en vektorn $Ax$ av typen $n \times 1$.
• För att ekvationen $Ax = b$ ska vara meningsfull måste därför vektorn $b$ vara av typen $n \times 1$.

Om matrisen $A$ har kolonnerna $A_{1}\ , A_{2} \ , \ldots, A_{m}$ så är vektorn $Ax$ samma sak som följande linjärkombination av matrisens kolonner.

    $Ax = x_{1}A_{1}+x_{2}A_{2}+\cdots+x_{m}A_{m}.$

Ekvationen $Ax = b$ säger att denna linjärkombination är lika med vektorn $b.$ Att lösa ekvationen $Ax=b$ är alltså samma sak som att finna tal $x_1$, $x_2$, ... , $x_m$ som kombinerar kolonnerna $A_1$ och $A_2$ och ... och $A_m$ på precis rätt sätt så att de tillsammans bildar den givna vektorn $b$.

Tack så mycket för en väldigt bra förklaring.

Men jag undrar ändå.....

Om man kan lösa ekvationen ax=b  då har man ju fått att b är det exakta svaret på a*x.

Men hur vet man om b tillhör As kolonn rum?

Man vet att b är ett svar till ax. Men hur hänger b ihop med kolonnrummet?

Jag vet att b är ett svar. Det är till höger om likamedtecknet. Men om b ska ingå i A så ska det på nåt vis finnas även på vänstra sidan? 

Vad ÄR As kolonn rum?

Det är väl de kolonner som ingår i A?

Det är väl ganska osannolikt att b som är svaret på ax även är en av As kolonner?

Så jag har antagligen fel som tror att As kolonn rum utgörs av kolonierna i A?

Strollum skrev:

Vad ÄR As kolonn rum?

Det är väl de kolonner som ingår i A?

 

Det är väl ganska osannolikt att b som är svaret på ax även är en av As kolonner?

 

Så jag har antagligen fel som tror att As kolonn rum utgörs av kolonierna i A?

 Kolonnrummet till A är samma sak som mängden av alla linjärkombinationer av A:s kolonnvektorer. Exempelvis linjärkombinationen $x_1A_1+x_2A_2+\cdots+x_mA_m$ ligger detta kolonnrum.

För att ekvationen $Ax=b$ ska ha en lösning måste vektorn $b$ kunna skrivas som en linjärkombination av $A$:s kolonnvektorer, vilket är samma sak som att säga att vektorn $b$ måste ligga i kolonnrummet till matrisen $A$.

Då ska man alltså kunna skriva b som en kombination av As vektorer?

Så i mitt exempel ovan ska vektorn b=(6, 26,9)

Kunna skrivas som en kombination av veķtorerna (1,3,2) och (2,4,1)?

Strollum skrev:

Då ska man alltså kunna skriva b som en kombination av As vektorer?

Så i mitt exempel ovan ska vektorn b=(6, 26,9)

Kunna skrivas som en kombination av veķtorerna (1,3,2) och (2,4,1)?

 Ja.

Jaha. Vad bra. Då förstår jag äntligen. 

(12,26,9)skulle det vara.

B ingår inte i As kolonner.

Men det går alltså att kombinera dem så att man får b. 

Tack så mycket för förklaringarna Alvik!