5 svar

134 visningar

Ekvationssystem

Hej

kan någon hjälpa mig med att finna alla lösningar a,b,c till följande ekvationssystem:

$2 (a - b) = 29 + 4 a b 2 (c - b) = 11 + 4 b c 2 (c + a) = 9 - 4 a c$

Jag började med att ledvis addera ihop termerna VL och HL för sig och fick då $4 (a - b + c) = 49 + 4 (a b + b c - a c)$ men sedan är jag lite fast i hur man ska ta sig vidare.

Ska man subtrahera den första raden i ekvationssystemet för att få ut ett värde på c? jag försökte göra det men blir osäker då vi har 4a-4b så ska man då subtrahera med två gånger första raden i ekvationssystemet?

I så fall får jag att $4 c = - 9 + 4 (- a b + b c - a c)$

ekv1: 2a - 2b = 29 + 4ab
2a - 4ab = 29 + 2b
a ( 2 - 4b ) = 29 + 2b
a = ( 29 + 2b ) / ( 2 - 4b )

ekv2: 2c - 2b = 11 + 4bc
- 2b - 4bc = 11 - 2c
b ( - 2 - 4c ) = 11 - 2c
b = ( 11 - 2c ) / ( -2 - 4c )

ekv3: 2c + 2a = 9 - 4ac
2c + 4ac = 9 - 2a
c ( 2 + 4a ) = 9 - 2a
c = ( 9 - 2a ) / ( 2 + 4a )

Sätter in värdet av b i ekv1:
a = [ 29 + 2 ( 11 - 2c ) / ( -2 - 4c ) ] / [ 2 - 4 ( 11 - 2c ) / ( -2 - 4c ) ]

Efter en massa steg som jag inte orkar skriva här kommer jag till:
a = 0,75 + 2,5c

Sätter in värdet av c från ovan:
a = 0,75 + 2,5 ( 9 - 2a ) / ( 2 + 4a )

Detta ger en andragradsekvation, som ger a = 2 och a = -3

Insättning av dessa två värden på a i ekv3 ger två värden på c

Insättning av dessa två värden på c i ekv2 ger två värden på b

Klart

Hej!

Använd sambandet

$\displaystyle 4xy = (x+y)^2-(x-y)^2$

för att skriva de tre ekvationerna på följande form.

$(a-b)^2 + 2(a-b) = 29 + (a+b)^2$

$(c-b)^2 + 2(c-b) = 11 + (c+b)^2$

$(c+a)^2 + 2(c+a) = 9 + (c-a)^2$

Kvadratkompletteringar ger följande resultat.

$(a-b+1)^2 = 30 + (a+b)^2$

$(c-b+1)^2 = 12 + (c+b)^2$

$(c+a+1)^2 = 10 + (c-a)^2$

Konjugatregeln låter dig skriva ekvationerna på faktoriserad form.

$30 = (a-b+1+a+b)(a-b+1-a-b) = (1+2a)(1-2b)$

$12 = (c-b+1+c+b)(c-b+1-c-b) = (1+2c)(1-2b)$

$10 = (c+a+1+c-a)(c+a+1-c+a) = (1+2c)(1+2a)$

Dividera (1) med (2) för att få ekvationen

$5(1+2c) = 2(1+2a).$

Dividera (2) med (3) för att få ekvationen

$6(1+2a) = 5(1-2b)$ .

Dividera (1) med (3) för att få ekvationen

$3(1+2c) = (1-2b).$

Skriv $A = 2(1+2a)$ och $B = 1-2b$ och $C = 1+2c.$ Då har du att lösa ekvationerna

$5C = A$

$3A = 5B$

$3C = B.$

Albiki

Hur kan du Albiki lösa ekvationerna ?
5C=A
3A=5B
3C=B

Som jag ser det blir resultatet
C=C eller 5B/3=5B/3 eller 3A/5=3A/5

Visserligen sant, men ger ingen lösning...

larsolof skrev :
ekv1: 2a - 2b = 29 + 4ab
2a - 4ab = 29 + 2b
a ( 2 - 4b ) = 29 + 2b
a = ( 29 + 2b ) / ( 2 - 4b )
ekv2: 2c - 2b = 11 + 4bc
- 2b - 4bc = 11 - 2c
b ( - 2 - 4c ) = 11 - 2c
b = ( 11 - 2c ) / ( -2 - 4c )
ekv3: 2c + 2a = 9 - 4ac
2c + 4ac = 9 - 2a
c ( 2 + 4a ) = 9 - 2a
c = ( 9 - 2a ) / ( 2 + 4a )
Sätter in värdet av b i ekv1:
a = [ 29 + 2 ( 11 - 2c ) / ( -2 - 4c ) ] / [ 2 - 4 ( 11 - 2c ) / ( -2 - 4c ) ]
Efter en massa steg som jag inte orkar skriva här kommer jag till:
a = 0,75 + 2,5c
Sätter in värdet av c från ovan:
a = 0,75 + 2,5 ( 9 - 2a ) / ( 2 + 4a )
Detta ger en andragradsekvation, som ger a = 2 och a = -3
Insättning av dessa två värden på a i ekv3 ger två värden på c
Insättning av dessa två värden på c i ekv2 ger två värden på b
Klart

jag är inte riktigt med på hur du får fram a=0,75+2,5c

jag får kvar $29 / 4 (- 5 + c)$

a = ( 29 + 2b ) / ( 2 - 4b )

b = ( 11 - 2c ) / ( -2 - 4c )

a = [ 29 + 2 ( 11 - 2c ) / ( -2 - 4c ) ] / [ 2 - 4 ( 11 - 2c ) / ( -2 - 4c ) ]

multiplicerar in 2 och 4

a = [ 29 + ( 22 - 4c ) / ( -2 - 4c ) ] / [ 2 - ( 44 - 8c ) / ( -2 - 4c ) ]

förlänger 29 och 2 med ( -2 - 4c ) / ( -2 - 4c ) för att få gemensam nämnare

a = [ 29( -2 - 4c ) / ( -2 - 4c ) + ( 22 - 4c ) / ( -2 - 4c ) ] / [ 2 ( -2 - 4c ) / ( -2 - 4c ) - ( 44 - 8c ) / ( -2 - 4c ) ]

börjar bli svårt att se nu, så förtydligar så här....

a = täljare / nämnare

täljare = [ 29( -2 - 4c ) / ( -2 - 4c ) + ( 22 - 4c ) / ( -2 - 4c ) ]

nämnare = [ 2 ( -2 - 4c ) / ( -2 - 4c ) - ( 44 - 8c ) / ( -2 - 4c ) ]

alla termerna (heter de så? ) i både täljaren och nämnaren
har ( -2 - 4c ) i sina respektive nämnare, så förkorta bort dessa....

täljare = [ 29( -2 - 4c ) / ( -2 - 4c ) + ( 22 - 4c ) / ( -2 - 4c ) ]

nämnare = [ 2 ( -2 - 4c ) / ( -2 - 4c ) - ( 44 - 8c ) / ( -2 - 4c ) ]

....så blir det

täljare = [ 29( -2 - 4c ) + ( 22 - 4c ) ]

nämnare = [ 2 ( -2 - 4c ) - ( 44 - 8c ) ]

multiplicera in 29 och 2

täljare = [ 29( -2 - 4c ) + ( 22 - 4c ) ]

nämnare = [ 2 ( -2 - 4c ) - ( 44 - 8c ) ]

får....

täljare = [ ( -58 - 116c ) + ( 22 - 4c ) ]

nämnare = [ ( -4 - 8c ) - ( 44 - 8c ) ]

tar bort parenteser.... (obs ett minustecken)

täljare = [ ( -58 - 116c ) + ( 22 - 4c ) ]

nämnare = [ ( -4 - 8c ) - ( 44 - 8c ) ]

får....

täljare = -58 - 116c + 22 - 4c

nämnare = -4 - 8c - 44 + 8c

får....

täljare = -36 - 120c

nämnare = -48

nu har det blivit lite enklare, så sätter ihop igen....

a = -36 - 120c / -48

förkortar med - 12

a = 3 + 10c / 4

a = 3/4 + 10c/4

så är vi framme, men det var drygt...

a = 0,75 + 2,5c

Svara

Visa senaste svar