Ekvationssystem

Hej

kan någon hjälpa mig att lösa följande ekvationssystem:

$|\begin{matrix} x y z = & x & + y & + z \\ x y t = & x & + y & + t \\ x z t = & x & + z & + t \\ y z t = & y & + z & + t \end{matrix}|$

Man ska börja med att subtrahera två av ekvationerna ledvis och sedan faktorisera differensen.

Jag började med att ta rad 1 minus rad 2 och fick differensen z-t och tog sedan rad 3 minus rad 4 och fick differensen x-y

Efter det steget är jag osäker på hur jag ska gå vidare för att få fram värden på termerna.

Vad fick du för resulterande ekvationer och vad drog du för slutsats av ditt första försök?

Vad händer om du fortsätter på samma sätt med andra kombinationer av ekvationer?

efter att ha subtraherat får jag följande ekvationssystem $|\begin{matrix} x y z - x y t = & z - & t \\ x y t - x z t = & y - & z \\ x z t - y z t = & x - & y \end{matrix}|$

sen tänkte jag att man skulle sätta $|\begin{matrix} x y z & = & a \\ x y t & = & b \\ x z t & = & c \\ y z t & = & d \end{matrix}|$ och skriva om ekvationssystemet till $|\begin{matrix} a - & b & = & z - & t \\ b - & c & = & y - & z \\ c - & d & = & x - & y \end{matrix}|$

Pga symmetri så är en lösningsmängd att x = y = z = t = a.

a = 0 är en uppenbar lösning, men om a <> 0, vad kan det då vara?

jag är inte riktigt säker, om man sätter a större än 1 tex a=2 så får vi att x=y=z=t=2 alltså måste väl x,y,z,t vara lika med 1/2 så vi får 1/2*4=2

Idil M skrev :
jag är inte riktigt säker, om man sätter a större än 1 tex a=2 så får vi att x=y=z=t=2 alltså måste väl x,y,z,t vara lika med 1/2 så vi får 1/2*4=2

Varför gånger 4?

Om x=y=z=t=a så säger alla ursprungsekvationerna samma sak, nämligen a*a*a = a+a+a.

okej så om vi har a*a*a=a+a+a har vi ju alltså att $a^{3} = 3 a$

då får jag fram följande svar a=0 och $a = \pm \sqrt{3}$

Bra!

Det finns ytterligare ett antal lösningar bland de komplexa talen. Hittar du även dem?

nej dem listade jag inte ut tyvärr jag är inte säker på hur jag ska göra för att få fram dem

hur är det meningen att man ska göra för att få fram de komplexa talen till ekvationssystemet? för jag tror inte det finns flera reella tal som löser ekvationssystemet.

Ursprungsekvationerna:

xyz = x+y+z
xyt = x+y+t
xzt = x+z+t
yzt = y+z+t

Första och andra ekvationen kan uppfyllas om vi hittar ett x och ett y sådana att xy = 1 och x+y = 0. Detta innebär att x*(-x) = 0, vilket innebär att x = +/- i och y alltså är -/+ i.

På samma sätt kan vi uppfylla tredje och fjärde ekvationen om zt = 1 och z + t = 0, vilket ger z = +/- i och t = -/+ i.

Vi kan resonera på samma sätt med kombinationen av ekvationer 2-3 och 1-4:

Ekvation 2 & 3: xt = 1 och x+t = 0, vilket ger oss x = +/- i och t = -/+ i

Ekvation 1 & 4: yz = 1 och y+z = 0, vilket ger oss y = +/- i och z = -/+ i

Och slutligen kombinationen av ekvationer 1-3 och 2-4:

Ekvation 1 & 3: xz = 1 och x+z = 0, vilket ger oss x = +/- i och z = -/+ i

Ekvation 2 & 4: yt = 1 och y+t = 0, vilket ger oss y = +/- i och t = -/+ i

Totalt ger oss detta 6 möjliga unika komplexa lösningar:

x = i, y = i, z = -i, t = -i
x = i, y = -i, z = i, t = -i
x = i, y = -i, z = -i, t = i
x = -i, y = i, z = i, t = -i
x = -i, y = i, z = -i, t = i
x = -i, y = -i, z = i, t = i

Det finns säkert något bättre sätt att hitta dessa lösningar.

Svara

Visa senaste svar