Ekvationssystem

Nu har jag inte räknat hela vägen, men efter ditt första steg kan du bryta ut xy ur vänsterledet i första ekvationen och zt i tredje ekvationen, vilket tar den en bra bit på vägen.

Hej!

Ekvationen xyz-xyt = z-t kan också skrivas (z-t)(1-xy) = 0. 

Ekvationen xyt-xzt = y kan också skrivas xt(y-z) = y.

Ekvationen xzt-yzt = x-y kan också skrivas (x-y)(1-zt) = 0.

Albiki

Fortsätter du på din räkning kan du skriva om systemet till

        $$\begin{gathered} xy\left(z-t\right)=z-t\Rightarrow xy=1 \\ xyt-xzt=y \\ zt\left(x-y\right)=x-y\Rightarrow zt=1 \end{gathered}$$

Sätt in dessa värden i mittersta ekvationen.

Hej!

Att döma av mönstren som visar sig tror jag att du skrivit Ekvation 2 fel. Jag tror att den istället ska vara xyt-xzt = y-z.

Albiki

okej så då har vi alltså att

xy=1

zt=1

xt=1

men hur ska man gå vidare härifrån?

Två, till synes, triviala lösningar från din sista ekvation är $x,y,z,t=\pm 1.$ Dessa är dock falska rötter eftersom man, med din metod, dividerar med 0 för att få bort parenteserna.

Alla fyra ekvationer säger egentligen samma sak, systemet är symmetriskt. Du kan därför låta $x=y=z=t=A$ vilket ger dig

     $AAA=A+A+A\iff A^3=3A\iff A=\left(0,\pm \sqrt{3}\right).$

okej, jag är med på att ekvationssystemet är symmetriskt. Men däremot är jag inte riktigt med på det sista steget.

x=y=z=t=A är jag med på, sen har vi AAA=A+A+A från ursprungsekvationen, men hur får vi $\left(0,\pm \sqrt{3}\right)$ 

Det är ju bara att lösa ekvationen

     $A^3-3A=0\iff A\left(A^2-3\right)=0$

som med nollproduktsmetoden ger

     $\left\{\begin{array}{ll}{A}_1& =0\\ A^2-3& =0\iff A^2=3\iff A_{2,3}=\pm \sqrt{3}\end{array}\right.$

okej så då blir svaret på systemet $\left(0,\pm \sqrt{3}\right)$

Det beror på. Om du endast vill ha de reella lösningarna, så är svaret att $x=y=z=t\in \left\{0,\pm \sqrt{3}\right\}.$ Det finns även komplexa lösningar.

okej så varje variabel x,y,z,t kan ha värde 0,rotenur3 eller -rotenur3, men hur ska man göra om man även vill få fram de komplexa lösningar?

I tidigare inlägg fick vi genom de båda ekvationerna att $xy=1$. Om man sätter $xy=1$ och sätter in det i dem två första ekvationerna får man $x+y=0$. Kombinerar man dessa två ekvationer får man att

     $y=\frac{1}{x}\Rightarrow x+\frac{1}{x}=0\iff x^2+1=0\iff \left\{\begin{array}{l}{x}_1=i\\ x_2=-i\end{array}\right.$

Detta ger i sin tur att

     $$\begin{gathered} x_1\Rightarrow y_1=\frac{1}{x_1}=\frac{1}{i}=-i \\ {x}_2\Rightarrow y_2=\frac{1}{x_2}=\frac{1}{-i}=i \end{gathered}$$

På samma vis fick vi att $zt=1$. Insättning av detta i tredje och fjärde ekvationen ger $z+t=0$. Analogt med ovan så får man att

     $t=\frac{1}{z}\Rightarrow z+\frac{1}{z}=0\iff z^2+1=0\iff \left\{\begin{array}{l}{z}_1=i\\ z_2=-i\end{array}\right.$

som ger

     $$\begin{gathered} z_1\Rightarrow t_1=\frac{1}{z_1}=\frac{1}{i}=-i \\ {z}_2\Rightarrow t_2=\frac{1}{z_2}=\frac{1}{-i}=i \end{gathered}$$

Sammanfattningsvis kan man skriva att de komplexa rötterna ges av

     $$\begin{gathered} \left(x,y\right)\in \left\{\pm i,\mp i\right\} \\ \left(z,t\right)\in \left\{\pm i,\mp i\right\} \end{gathered}$$