Ekvationssystem
Hej
kan någon hjälpa mig med följande uppgift.
(xyz=x+y+zxyt=x+y+txzt=x+z+tyzt=y+z+t)
Jag började med att försöka ta differensen mellan de olika leden och fick
xyz-xyt=z-t
xyt-xzt=y
xzt-yzt=x-y
Sedan försökte jag lösa ut det genom att sätta A=xyz B=xyt C=xzt D=yzt och fick att
A-B= z-t
B-C= y
C-D= x-y
Nu har jag inte räknat hela vägen, men efter ditt första steg kan du bryta ut xy ur vänsterledet i första ekvationen och zt i tredje ekvationen, vilket tar den en bra bit på vägen.
Hej!
Ekvationen xyz-xyt = z-t kan också skrivas (z-t)(1-xy) = 0.
Ekvationen xyt-xzt = y kan också skrivas xt(y-z) = y.
Ekvationen xzt-yzt = x-y kan också skrivas (x-y)(1-zt) = 0.
Albiki
Fortsätter du på din räkning kan du skriva om systemet till
xy(z-t)=z-t⇒xy=1xyt-xzt=yzt(x-y)=x-y⇒zt=1
Sätt in dessa värden i mittersta ekvationen.
Hej!
Att döma av mönstren som visar sig tror jag att du skrivit Ekvation 2 fel. Jag tror att den istället ska vara xyt-xzt = y-z.
Albiki
okej så då har vi alltså att
xy=1
zt=1
xt=1
men hur ska man gå vidare härifrån?
Två, till synes, triviala lösningar från din sista ekvation är x,y,z,t=±1. Dessa är dock falska rötter eftersom man, med din metod, dividerar med 0 för att få bort parenteserna.
Alla fyra ekvationer säger egentligen samma sak, systemet är symmetriskt. Du kan därför låta x=y=z=t=A vilket ger dig
AAA=A+A+A⇔A3=3A⇔A=(0,±√3).
okej, jag är med på att ekvationssystemet är symmetriskt. Men däremot är jag inte riktigt med på det sista steget.
x=y=z=t=A är jag med på, sen har vi AAA=A+A+A från ursprungsekvationen, men hur får vi (0,±√3)
Det är ju bara att lösa ekvationen
A3-3A=0⇔A(A2-3)=0
som med nollproduktsmetoden ger
{A1=0A2-3=0⇔A2=3⇔A2,3=±√3
okej så då blir svaret på systemet (0,±√3)
Det beror på. Om du endast vill ha de reella lösningarna, så är svaret att x=y=z=t∈{0,±√3}. Det finns även komplexa lösningar.
okej så varje variabel x,y,z,t kan ha värde 0,rotenur3 eller -rotenur3, men hur ska man göra om man även vill få fram de komplexa lösningar?
I tidigare inlägg fick vi genom de båda ekvationerna att xy=1. Om man sätter xy=1 och sätter in det i dem två första ekvationerna får man x+y=0. Kombinerar man dessa två ekvationer får man att
y=1x⇒x+1x=0⇔x2+1=0⇔{x1=ix2=-i
Detta ger i sin tur att
x1⇒y1=1x1=1i=-ix2⇒y2=1x2=1-i=i
På samma vis fick vi att zt=1. Insättning av detta i tredje och fjärde ekvationen ger z+t=0. Analogt med ovan så får man att
t=1z⇒z+1z=0⇔z2+1=0⇔{z1=iz2=-i
som ger
z1⇒t1=1z1=1i=-iz2⇒t2=1z2=1-i=i
Sammanfattningsvis kan man skriva att de komplexa rötterna ges av
(x,y)∈{±i,∓i}(z,t)∈{±i,∓i}