ekvationssystem

B.N. skrev:

Hej

jag har en uppgift där jag behöver lite hjälp för att lösa följande ekvationssystem:

$\begin{array}{c}{x}^2\left(y+1\right)=2+y-z\\ y^2\left(z+1\right)=2+z-x\\ z^2\left(x+1\right)=2+x-y\end{array}$

 

Jag såg i ett förslag att man kunde sätta:

$\left(x^2-1\right)\left(y+1\right)=1-z$

$x^2\left(y+1\right)=\left(1+y\right)+\left(1-z\right)$

$\left(x^2-1\right)\left(y+1\right)=1-z$

$\left(x-1\right)\left(x+1\right)\left(y+1\right)=1-z$

$\left(x+1\right)\left(y+1\right)=\frac{1-z}{x-1}$

jag frstår inte riktigt hur får man $\left(x^2-1\right)\left(y+1\right)=1-z$

$x^2(y+1)=2+y-z$

Subtrahera $(y+1)$ från båda sidor:

$x^2(y+1)-(y+1)=2+y-z-(y+1)$

Förenkla HL och bryt ut den gemensamma faktorn $(y+1)$ i VL

$x^2(y+1)=1+(1+y)-z$ och 1+y=y+1. 

jag får då för den första raden i ekvationssystemet:

$\left(x+1\right)\left(y+1\right)=\frac{1-z}{x-1}$

och för den andra:

$\left(y+1\right)\left(z+1\right)=\frac{1-x}{y-1}$

och tredje:

$\left(z+1\right)\left(x+1\right)=\frac{1-y}{z-1}$

tar man sedan och multiplicerar ihop svaret får jag att $\left(\frac{1-z}{x-1}\right)\times \left(\frac{1-x}{y-1}\right)\times \left(\frac{1-y}{z-1}\right)=-1$

men sedan vet jag inte riktigt hur man ska ta sig vidare, vad blir nästa steg?

Ska man införa något variabelbyte så att man sätter $a=\left(x+1\right)$, $b=\left(y+1\right)$, $c=\left(z+1\right)$ och vi har då att

 $\begin{array}{c}ab=\frac{1-z}{x-1}\\ bc=\frac{1-x}{y-1}\\ ca=\frac{1-y}{z-1}\end{array}$

finns det något bra sätt att ta sig vidare härifrån? 

Finns det några restriktioner på systemets lösningar? Ska de vara gaussiska heltal? Ska de vara kvaternioner? Ska de vara hyperreella tal? Ska de vara oktonioner? Ska de vara rationella tal? Ska de vara naturliga tal? Eller? 

nej det står ingen information om restriktioner.