Ekvationslösning med samma bas

Ett potitivt tal upphöjt till vad som helst kan aldrig bli ett negativt tal.

Vad det det du undrade?

Yngve skrev:

Ett potitivt tal upphöjt till vad som helst kan aldrig bli ett negativt tal.

Vad det det du undrade?

Okej så det innebär att det som står i vänsterledet måste vara positivt då om det ska råda ekvivalens? Jag antar det har att göra med att baser är alltid positiva i regel liksom a>0 eller a>1.

Ja, annars saknar ekvationen lösning.

Men det kanske den gör ändå, beroende på vad det står i vänsterledet.

Bra fråga till dig: Vilka möjliga värden kan vänsterledet ha om ekvationen ska ha en lösning?

Yngve skrev:

Ja, annars saknar ekvationen lösning.

Men det kanske den gör ändå, beroende på vad det står i vänsterledet.

Bra fråga till dig: Vilka möjliga värden kan vänsterledet ha om ekvationen ska ha en lösning?

Asså vänsterledet är negativt. Isåfall måste man få ett negativ värde på x för att vi ska få ut en tex -2 i vänsterledet. Så vänsterledet måste tex vara positivt 2.

destiny99 skrev:

Asså vänsterledet är negativt. Isåfall måste man få ett negativ värde på x för att vi ska få ut en tex -2 i vänsterledet.

Nej det spelar ingen roll vad x är. Högerledet 2^{2sin^2(x)} blir ändå alltid större än 0.

Så vänsterledet måste tex vara positivt 2.

Ja, men hur blir det om vänsterledet t ex. är 8. Har ekvationen en lösning då?

Eller om vänsterledet är 0,5. Har ekvationen en lösning då?

Om man räknar med komplexa tal så finns det lösningar.

Yngve skrev:

destiny99 skrev:

Asså vänsterledet är negativt. Isåfall måste man få ett negativ värde på x för att vi ska få ut en tex -2 i vänsterledet.

Nej det spelar ingen roll vad x är. Högerledet 2^{2sin^2(x)} blir ändå alltid större än 0.

Så vänsterledet måste tex vara positivt 2.

Ja, men hur blir det om vänsterledet t ex. är 8. Har ekvationen en lösning då?

Eller om vänsterledet är 0,5. Har ekvationen en lösning då?

Ja juste x kommer alltid vara större än 0. Jag kan tänka mig vi har en lösning då 8=2^3. Medan 1/2 ger oss 2^-1 och då kan vi ej ta roten ur ett negativt tal.

Laguna skrev:

Om man räknar med komplexa tal så finns det lösningar.

Ja precis

destiny99 skrev:

Ja juste x kommer alltid vara större än 0.

Nej, x kan ha vilket värde som helst.

Om x t.ex. är -7 så blir 2^{2sin^2(x)} = 2^{2sin^2(-7)} $\approx$ 2^2•0,43 $\approx$ 1,82.

Jag kan tänka mig vi har en lösning då 8=2^3.

Ja, om VL = 8 så skulle det innebära att 2sin^2(x) = 3, eller hur? Är det möjligt? Om inte, varför inte?

Medan 1/2 ger oss 2^-1 och då kan vi ej ta roten ur ett negativt tal.

Ja, om VL = 1/2 så skulle det innebära att 2sin^2(x) = -1, eller hur? Är det möjligt? Om inte, varför inte?

Yngve skrev:

destiny99 skrev:

Ja juste x kommer alltid vara större än 0.

Nej, x kan ha vilket värde som helst.

Om x t.ex. är -7 så blir 2^{2sin^2(x)} = 2^{2sin^2(-7)} $\approx$ 2^2•0,43 $\approx$ 1,82.

Jag kan tänka mig vi har en lösning då 8=2^3.

Ja, om VL = 8 så skulle det innebära att 2sin^2(x) = 3, eller hur? Är det möjligt? Om inte, varför inte?

Medan 1/2 ger oss 2^-1 och då kan vi ej ta roten ur ett negativt tal.

Ja, om VL = 1/2 så skulle det innebära att 2sin^2(x) = -1, eller hur? Är det möjligt? Om inte, varför inte?

Precis x kan ha vilket värde som helst negativt som positivt då vi har sin²(x).

Ja det skulle innebära att vi har 3 =2sin²(x) när vi tar ner exponeterna. Ekvationen blir ej möjligt att lösa då 3/2 är större än de värden sinx kan anta. Sinx pendlar mellan -1 och 1. 

Gällande det andra är det ej heller möjligt för vi kan ej dra roten ur negativt tal som sagt då roten  ur ett negativt tal är ej definierad. 

destiny99 skrev:

Ja det skulle innebära att vi har 3 =2sin²(x) när vi tar ner exponeterna. Ekvationen blir ej möjligt att lösa då 3/2 är större än de värden sinx kan anta. Sinx pendlar mellan -1 och 1. 

Ja, bra, det stämmer.

Gällande det andra är det ej heller möjligt för vi kan ej dra roten ur negativt tal som sagt då roten  ur ett negativt tal är ej definierad. 

Ja, det stämmer att 2sin^2(x) = -1 saknar lösning eftersom sin^2(x) alltid är större än eller lika med 0.

=====

Hör kan vi även hitta en ledtråd till de möjliga värdena I VL.

Eftersom $-1\leq\sin(x)\leq1$ så har vi att $0\leq\sin^2(x)\leq1$, vilket ger oss att det för exponenten gäller $0\leq2\sin^2(x)\leq2$.

Det ger oss att det för HL gäller att $2^0\leq2^{2\sin^2(x)}\leq2^2$

Dvs $1\leq HL\leq4$

För att ekvationen ska ha en lösning måste det alltså gälla att VL ligger i intervallet $[1,4]$.

Yngve skrev:

destiny99 skrev:

Ja det skulle innebära att vi har 3 =2sin²(x) när vi tar ner exponeterna. Ekvationen blir ej möjligt att lösa då 3/2 är större än de värden sinx kan anta. Sinx pendlar mellan -1 och 1. 

Ja, bra, det stämmer.

Gällande det andra är det ej heller möjligt för vi kan ej dra roten ur negativt tal som sagt då roten  ur ett negativt tal är ej definierad. 

Ja, det stämmer att 2sin^2(x) = -1 saknar lösning eftersom sin^2(x) alltid är större än eller lika med 0.

=====

Hör kan vi även hitta en ledtråd till de möjliga värdena I VL.

Eftersom $-1\leq\sin(x)\leq1$ så har vi att $0\leq\sin^2(x)\leq1$, vilket ger oss att det för exponenten gäller $0\leq2\sin^2(x)\leq2$.

Det ger oss att det för HL gäller att $2^0\leq2^{2\sin^2(x)}\leq2^2$

Dvs $1\leq HL\leq4$

För att ekvationen ska ha en lösning måste det alltså gälla att VL ligger i intervallet $[1,4]$.

Jag förstår ej varför du skriver att -1 <=sin(x)<=1 och sedan skriver du 0<=sin²(x)<=1?  Ska det ej vara -1<=sin²(x)<=1 också? Om nej,varför ej?

Kan du få sin²(x) att bli negativt?

Laguna skrev:

Kan du få sin²(x) att bli negativt?

Nej

Yngve skrev:

destiny99 skrev:

Ja det skulle innebära att vi har 3 =2sin²(x) när vi tar ner exponeterna. Ekvationen blir ej möjligt att lösa då 3/2 är större än de värden sinx kan anta. Sinx pendlar mellan -1 och 1. 

Ja, bra, det stämmer.

Gällande det andra är det ej heller möjligt för vi kan ej dra roten ur negativt tal som sagt då roten  ur ett negativt tal är ej definierad. 

Ja, det stämmer att 2sin^2(x) = -1 saknar lösning eftersom sin^2(x) alltid är större än eller lika med 0.

=====

Hör kan vi även hitta en ledtråd till de möjliga värdena I VL.

Eftersom $-1\leq\sin(x)\leq1$ så har vi att $0\leq\sin^2(x)\leq1$, vilket ger oss att det för exponenten gäller $0\leq2\sin^2(x)\leq2$.

Det ger oss att det för HL gäller att $2^0\leq2^{2\sin^2(x)}\leq2^2$

Dvs $1\leq HL\leq4$

För att ekvationen ska ha en lösning måste det alltså gälla att VL ligger i intervallet $[1,4]$.

I näst sista raden skriver du 2⁰<2sin²(x)<2². Varför gör du så?

destiny99 skrev:

I näst sista raden skriver du 2⁰<2sin²(x)<2². Varför gör du så?

Nej, jag skriver att $2^0\leq2^{2\cdot\sin^2(x)}\leq2^2$

Det jag menar är att eftersom $2\cdot\sin^2(x)$ ligger i intervallet $[0,2]$ så ligger $2^{2\cdot\sin^2(x)}$ I intervallet $[2^0,2^2]$, dvs i intervallet $[1,4]$.

Yngve skrev:

destiny99 skrev:

I näst sista raden skriver du 2⁰<2sin²(x)<2². Varför gör du så?

Nej, jag skriver att $2^0\leq2^{2\cdot\sin^2(x)}\leq2^2$

Det jag menar är att eftersom $2\cdot\sin^2(x)$ ligger i intervallet $[0,2]$ så ligger $2^{2\cdot\sin^2(x)}$ I intervallet $[2^0,2^2]$, dvs i intervallet $[1,4]$.

Hur vet du att 2*sin^(x) ligger i intervallet [0,2]? Hut vet du även att den andra ligger i intervallet [1,4]? Jag ser ej riktigt hur du får fram det.

Vi förenklar det lite så att det blir enklare att se sambanden.

Om vi tillfälligt byter ut sin(x) mot a så kan uttrycket sin²(x) skrivas som a², är du med på det?

Är du då med på att om a ligger i intervallet [-1, 1] så ligger a² i intervallet [0, 1]?

Om inte, rita ett koordinatsystem där du kallar den horisontella axeln a och den vertikala axeln y.

Rita sedan grafen till y = a² ftån a = -1 till a = 1.

Ser du då att d² endast antar vörden från 0 till 1?

Yngve skrev:

Vi förenklar det lite så att det blir enklare att se sambanden.

Om vi tillfälligt byter ut sin(x) mot a så kan uttrycket sin²(x) skrivas som a², är du med på det?

Är du då med på att om a ligger i intervallet [-1, 1] så ligger a² i intervallet [0, 1]?

Om inte, rita ett koordinatsystem där du kallar den horisontella axeln a och den vertikala axeln y.

Rita sedan grafen till y = a² ftån a = -1 till a = 1.

Ser du då att d² endast antar vörden från 0 till 1?

Aa  jag är med på att du byter mot a ja. 

aa jag är med på det. sin^2(x) är alltid positivt då den är lika med eller större än 1. 

destiny99 skrev:

Aa  jag är med på att du byter mot a ja. 

aa jag är med på det. sin^2(x) är alltid positivt då den är lika med eller större än 1. 

Om du menar större än eller lika med 0 så är jag nöjd 

Jag sammanfattar och fortsätter. Säg till om det är någon/några punkt/er som du vill få tydliggjorda:

1. Vi sätter $\sin(x)=a$
2. Då är $\sin^2(x)=a^2$, $2\sin^2(x)=2a^2$ och $2^{2\sin^2(x)}=2^{2a^2}$
3. Att $\sin(x)$ ligger i intervallet $[-1,1]$ innebör att även $a$ ligger I intervallet $[-1, 1]$
4. Det medför att $a^2$ ligger i intervallet $[0, 1]$ och att $2a^2$ ligger I intervallet $[0,2]$
5. Om $2a^2=0$ så är $2^{2a^2}=2^0=1$
6. Om $2a^2$ > $0$ så är $2^{2a^2}$ > $1$
7. Om $2a^2=2$ så är $2^{2a^2}=2^2=4$
8. Det ger oss att $2^{2a^2}$ ligger I intervallet $[1,4]$
9. Om vi byter tillbaka från $a$ till $\sin(x)$ så får vi att $2^{2\sin^2(x)}$ ligger i intervallet $[1,4]$

Yngve skrev:

destiny99 skrev:

Aa  jag är med på att du byter mot a ja. 

aa jag är med på det. sin^2(x) är alltid positivt då den är lika med eller större än 1. 

Om du menar större än eller lika med 0 så är jag nöjd 

Jag sammanfattar och fortsätter. Säg till om det är någon/några punkt/er som du vill få tydliggjorda:

1. Vi sätter $\sin(x)=a$
2. Då är $\sin^2(x)=a^2$, $2\sin^2(x)=2a^2$ och $2^{2\sin^2(x)}=2^{2a^2}$
3. Att $\sin(x)$ ligger i intervallet $[-1,1]$ innebör att även $a$ ligger I intervallet $[-1, 1]$
4. Det medför att $a^2$ ligger i intervallet $[0, 1]$ och att $2a^2$ ligger I intervallet $[0,2]$
5. Om $2a^2=0$ så är $2^{2a^2}=2^0=1$
6. Om $2a^2$ > $0$ så är $2^{2a^2}$ > $1$
7. Om $2a^2=2$ så är $2^{2a^2}=2^2=4$
8. Det ger oss att $2^{2a^2}$ ligger I intervallet $[1,4]$
9. Om vi byter tillbaka från $a$ till $\sin(x)$ så får vi att $2^{2\sin^2(x)}$ ligger i intervallet $[1,4]$

Jag hänger med på alla punkter utom 5-7 för du höjer upp 2an på båda leden. Sen är jag ej med på hur 2^2a^2>1?

Vi förenklar det lite till så blir det kanske enklare att följa tankegången.

Om vi tillfälligt byter ut $2a^2$ mot $b$ så kan uttrycket $2^{2a^2}$ skrivas som $2^b$.

Punkt 5: Om $b$ har värdet $0$ så har $2^b$ värdet $2^0$, vilket är lika med $1$.

Punkt 6: Om $b$ är större än $0$ så är $2^b$ större än $1$

Punkt 7: Om $b$ har värdet $2$ så har $2^b$ värdet $2^2$, vilket är lika med $4$.

Punkt 8: Det ger oss att $2^b$ ligger I intervallet $[1,4]$

Punkt 9: Om vi byter tillbaka hela vägen från $b$ till $2\sin^2(x)$ så får vi att $2^{2\sin^2(x)}$ligger i intervallet $[1,4]$